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Considérations sur le passage du fini à l’infiniment petit.

19. Le passage du fini à l’infiniment petit consiste à négliger les différences infiniment petites par rapport aux quantités finies, et généralement les infiniment petits d’un ordre supérieur relativement à ceux d’un ordre inférieur. Cette omission semble ôter à ce passage la rigueur géométrique ; mais, pour se convaincre de son entière exactitude, il suffit de le considérer comme le résultat de la comparaison des puissances homogènes d’une variable indéterminée, dans le développement des termes d’une équation qui subsiste, quelle que soit cette indéterminée ; car il est clair que les termes affectés de la même puissance doivent se détruire mutuellement.

Pour rendre cela sensible par un exemple, considérons l’équation suivante que donne l’équation $(q)$ du n^o 10, en y faisant $n=1,$

$'\Delta y_{x'}=\left(1+dy_{x'}\right)^{\frac {\alpha }{dx'}}-1.$

$'\Delta$ est la caractéristique des différences finies, $x'$ variant de $\alpha ,$ et $d$ est la caractéristique des différences, $x'$ variant de $dx'.$ L’équation précédente développée donne, en appliquant, conformément à l’analyse du numéro cité, les exposants des puissances de $dy_{x'}$ à la caractéristique $d,$

$'\Delta y_{x'}={\frac {\alpha }{dx'}}dy_{x'}+{\frac {\alpha ^{2}-\alpha dx'}{1.2dx'^{2}}}d^{2}y_{x'}+\ldots \,;$

$dy_{x'}$ est égal à $y_{x'+dx'}-y_{x'}.$ Supposons qu’en développant la fonction de $x'+dx',$ représentée par $y_{x'+dx'},$ on ait

$y_{x'+dx'}=y_{x'}+dx'y'_{x'}+dx'^{2}z_{x'}+\ldots \,;$

on aura

$dy_{x'}=dx'y'_{x'}+dx'^{2}z_{x'}+\ldots ,$

d’où l’on tire

$d^{2}y_{x'}=dx'dy'_{x'}+dx'^{2}dz_{x'}+\ldots .$

Développons pareillement $y'_{x'+dx'},z_{x'+dx'},\ldots$ suivant les puissances