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ce même coefficient, dans un terme quelconque, tel que $u\left({\frac {1}{t'}}-b\right)^{r}$ ou $ub^{r}\left({\frac {1}{bt'}}-b\right)^{r},$ est $br{'}\Delta ^{r}\left({\frac {y_{0,x'}}{b^{x'}}}\right),$ la caractéristique $'\Delta$ des différences se rapportant à la variabilité de $x',$ et cette variable devant être supposée nulle après les différentiations ; 3^o que ce coefficient dans $u\left({\frac {1}{t}}-a\right)^{r}$ est $a^{r}\Delta ^{r}\left({\frac {y_{x,0}}{a^{x}}}\right),$ la caractéristique $\Delta$ se rapportant à la variabilité de $x,$ et cette variable devant être supposée nulle après les différentiations ; on aura donc, avec ces conditions,

${\begin{aligned}y_{x,x'}=&\mathrm {V} b^{x'}{'}\Delta ^{x'}\left({\frac {y_{0,x'}}{b^{x'}}}\right)+\mathrm {V} ^{(1)}b^{x'-1}{'}\Delta ^{x'-1}\left({\frac {y_{0,x'}}{b^{x'}}}\right)+\ldots +\mathrm {V} ^{(x')}y_{0,0}\\&+{\frac {a}{c+ab}}\mathrm {V} ^{(x'+1)}\Delta \left({\frac {y_{x,0}}{a^{x}}}\right)+{\frac {a^{2}}{(c+ab)^{2}}}\mathrm {V} ^{(x'+2)}\Delta ^{2}\left({\frac {y_{x,0}}{a^{x}}}\right)+\ldots \\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {a^{x}}{(c+ab)^{x}}}\mathrm {V} ^{(x'+x)}\Delta ^{x}\left({\frac {y_{x,0}}{a^{x}}}\right)\,;\end{aligned}}$

c’est l’intégrale complète de l’équation $(b)$ aux différences partielles. Il est clair que cette intégrale suppose que l’on connaît le premier rang horizontal et le premier rang vertical de la Table (Q) du n^o 14.

17. L’expression précédente de $y_{x,x'}$ offre cela de remarquable, savoir que les caractéristiques $\Delta$ et ${'}\Delta$ des différences finies ont pour exposants les variables $x$ et $x'.$ En voici un autre exemple. Considérons l’équation aux différences partielles

$0=\Delta ^{n}y_{x,x'}+{\frac {a}{\alpha }}\Delta ^{n-1}{'}\Delta y_{x,x'}+{\frac {b}{\alpha ^{2}}}\Delta ^{n-2}{'}\Delta y_{x,x'}+\ldots ,$

la caractéristique $\Delta$ se rapportant à la variable $x$ dont l’unité est la différence, et la caractéristique $'\Delta$ se rapportant à la variable $x'$ dont $\alpha$ est la différence. L’équation génératrice correspondante sera, par le numéro précédent,

$0=\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n}+{\frac {a}{\alpha }}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n-1}\left({\frac {1}{t'}}-1\right)$

$+{\frac {b}{\alpha ^{2}}}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{n-2}\left({\frac {1}{t'^{2}}}-1\right)^{2}+\ldots .$