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en supposant ensuite

$x=\theta +u,\qquad x'=\theta '+u'.$

on réduira $\log {\frac {\mathrm {Y} }{y}}$ dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de $u$ et de $u',$ et l’on aura une équation de cette forme

$\mathrm {M} u+\mathrm {M} 'u'=t+t',$

dans laquelle $\mathrm {M}$ est la partie du développement en série de $\log {\frac {\mathrm {Y} }{y}},$ qui renferme tous les termes multipliés par $u$, et $\mathrm {M} '$ est l’autre partie qui renferme les termes multipliés par $u'$ et qui sont indépendants de $u.$ On partagera l’équation précédente dans les deux suivantes

$\mathrm {M} u=t,\qquad \mathrm {M} 'u'=t',$

d’où l’on tirera celle-ci, par le retour des suites,

$u=\mathrm {N} t,\qquad u'=\mathrm {N} 't',$

$\mathrm {N}$ étant une suite ordonnée par rapport aux puissances de $t$ et de $t'$ et $\mathrm {N} '$ étant uniquement ordonnée par rapport aux puissances de $t',$ et étant indépendante de $t\,;$ ces deux suites sont très convergentes, si $y$ renferme des facteurs très élevés. Maintenant on a $dxdx'=dudu'\,;$ de plus on a

${\begin{aligned}du=&{\frac {\partial .\mathrm {N} t}{\partial t}}dt+{\frac {\partial .\mathrm {N} t}{\partial t'}}dt',\\du'=&{\frac {\partial .\mathrm {N} 't'}{\partial t'}}dt'\,;\end{aligned}}$

mais, dans le produit $dudu',$ la différentielle $du$ est prise en faisant $u'$ constant, ce qui rend $t'$ constant ou $dt'=0\,;$ on a donc

$du={\frac {\partial .\mathrm {N} t}{\partial t}}dt\,;$

par conséquent

$dudu'={\frac {\partial .\mathrm {N} t}{\partial t}}{\frac {\partial .\mathrm {N} 't'}{\partial t'}}dtdt',$

ce qui donne

$\iint ydxdx'=\mathrm {Y} \iint {\frac {\partial .\mathrm {N} t}{\partial t}}{\frac {\partial .\mathrm {N} 't'}{\partial t'}}dtdt'c^{-t-t'}.$