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longueur du mètre ; et, dans l’ignorance où nous étions alors de la vraie théorie de ces corrections, il était le plus convenable ; mais il ne faisait pas connaître la correction des diverses parties de l’arc total $\mathrm {II} ^{(i+1)}.$ Pour cela, il est nécessaire de corriger les angles de chaque triangle, ou de déterminer les corrections $\alpha ,{\text{ϐ}},\alpha ^{(1)},{\text{ϐ}}^{(1)},\ldots$ qui résultent de l’excès $\lambda$ de la seconde base observée sur cette base calculée d’après la première. J’ai donné, dans le deuxième Supplément, ces corrections, en supposant la loi des erreurs des observations des angles proportionnelle à l’exponentielle $c^{-k\left(\alpha +{\frac {1}{3}}\mathrm {T} \right)^{2}},\ k$ étant une constante, $\mathrm {T}$ étant la somme des erreurs des trois angles du triangle, $\alpha +{\frac {1}{3}}\mathrm {T} ,{\text{ϐ}}+{\frac {1}{3}}\mathrm {T}$ et ${\frac {1}{3}}\mathrm {T} -\alpha -{\text{ϐ}}$ étant les erreurs de chacun des angles. On a vu, dans le Supplément cité, que la supposition de cette loi de probabilité doit être admise lorsque les angles ont été mesurés avec le cercle répétiteur, et qu’alors on a

$\alpha ^{(s)}={\frac {l^{(s)}-{\frac {1}{2}}m^{(s)}}{\mathrm {F} }}\lambda ,\qquad {\text{ϐ}}^{(s)}={\frac {m^{(s)}-{\frac {1}{2}}l^{(s)}}{\mathrm {F} }}\lambda ,$

en désignant par $\mathrm {F}$ la somme de toutes les quantités $l^{2}-ml+m^{2},$$l^{(1)2}-m^{(1)}l^{(1)}+m^{(1)2},\ldots .$ Je vais démontrer ici que ces corrections ont lieu, quelle que soit la loi de probabilité des erreurs.

Pour cela, je désigne cette loi par $\varphi \left(\alpha +{\frac {1}{3}}\mathrm {T} \right)^{2}\,:$ en la supposant la même pour les erreurs positives et pour les erreurs négatives, son expression ne doit renfermer que des puissances paires de ces erreurs. La loi de probabilité des valeurs simultanées de $\alpha$ et de ϐ sera ainsi proportionnelle au produit

$\varphi \left(\alpha +{\frac {1}{3}}\mathrm {T} \right)^{2}\varphi \left({\text{ϐ}}+{\frac {1}{3}}\mathrm {T} \right)^{2}\varphi \left({\frac {1}{3}}\mathrm {T} -\alpha -{\text{ϐ}}\right)^{2}.$

Si l’on développe ce produit, par rapport aux puissances de $\alpha$ et de ϐ, en s’arrêtant aux carrés et aux produits de ces quantités, on aura

$\left[\varphi \left({\frac {1}{9}}\mathrm {T} ^{2}\right)\right]^{3}+\left(\alpha ^{2}+\alpha {\text{ϐ}}+{\text{ϐ}}^{2}\right)\varphi \left({\frac {1}{9}}\mathrm {T} ^{2}\right)$

$\times \left\{2\varphi \left({\frac {1}{9}}\mathrm {T} ^{2}\right)\varphi '\left({\frac {1}{9}}\mathrm {T} ^{2}\right)-{\frac {1}{9}}\mathrm {T} ^{2}\left[\varphi '\left({\frac {1}{9}}\mathrm {T} ^{2}\right)\right]^{2}+{\frac {4}{9}}\mathrm {T} ^{2}\varphi \left({\frac {1}{9}}\mathrm {T} ^{2}\right)\varphi ''\left({\frac {1}{9}}\mathrm {T} ^{2}\right)\right\},$