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Lorsque les logarithmes sont hyperboliques, le second membre de cette équation, réduit en série, devient

$-(p+q)\left[{\frac {\left({\cfrac {p-q}{p+q}}\right)^{2}}{1.2}}+{\cfrac {\left({\cfrac {p-q}{p+q}}\right)^{4}}{3.4}}+{\cfrac {\left({\cfrac {p-q}{p+q}}\right)^{6}}{5.6}}+{\cfrac {\left({\cfrac {p-q}{p+q}}\right)^{8}}{7.8}}+\ldots \right].$

On aura donc, par cette série très convergente, le logarithme hyperbolique de ${\frac {(p+q)^{p+q}}{2^{p+q}p^{p}q^{q}}}.$ En le multipliant par $0{,}43429448,$ on le convertira en logarithme tabulaire, et, en lui ajoutant le logarithme tabulaire de ${\frac {(p+q)^{\frac {3}{2}}}{2(p-q){\sqrt {2pq\pi }}}},$ on aura le logarithme tabulaire du facteur qui multiplie la série $(o).$ Si l’on nomme ${\frac {1}{\mu }}$ ce facteur et si l’on fait

$p=393386,\qquad q=377555,$

on trouve en logarithme tabulaire

$\log \mu =72{,}2511780,$

et la série $(o)$ devient

${\frac {1}{\mu }}(1-0{,}0030761+\ldots ).$

Cette quantité d’une petitesse excessive, retranchée de l’unité, donnera la probabilité qu’à Paris la possibilité des naissances des garçons surpasse celles des filles ; d’où l’on voit que l’on doit regarder cette probabilité comme étant égale, au moins, à celle des faits historiques les plus avérés.

Si l’on applique la formule $(o)$ aux naissances observées dans les principales villes de l’Europe, on trouve que la supériorité des naissances des garçons sur les naissances des filles, observée partout depuis Naples jusqu’à Pétersbourg, indique une plus grande possibilité des naissances des garçons, avec une probabilité extrêmement approchante de la certitude. Ce résultat paraît donc être une loi générale, du moins en Europe, et si, dans quelques petites villes, où l’on n’a observé qu’un nombre peu considérable de naissances, la nature