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d’abord $t_{4},t_{5},\ldots$ invariables, et que $t_{3}$ puisse s’étendre indéfiniment depuis zéro ; alors, si l’on fait

$s+1-t_{3}-t_{4}-\ldots -t_{i}=x,$

en intégrant cette variable dont la différence finie est l’unité, on aura ${\frac {x(x-1)}{1.2}}$ pour son intégrale ; mais, pour avoir la somme de toutes les valeurs de $x,$ il faut, comme l’on sait, ajoutera à cette intégrale ; cette somme est donc ${\frac {x(x+1)}{1.2}}.$ Il faut y faire $x$ égal à sa plus grande valeur, que l’on obtient en faisant $t_{3}$ nul dans la fonction $s+1-t_{3}-t_{4}-\ldots -t_{i}\,;$ ainsi le nombre total des combinaisons relatives aux variations de $t_{1},t_{2},$ et $t_{3}$ est

${\frac {\left(s+2-t_{4}-t_{5}-\ldots -t_{i}\right)\left(s+1-t_{4}-t_{5}-\ldots -t_{i}\right)}{1.2}}.$

En faisant encore dans cette fonction

$s+2-t_{4}-t_{5}-\ldots -t_{i}=x,$

elle devient ${\frac {x(x-1)}{1.2}}\,;$ en l’intégrant depuis $x=0$ et en ajoutant la fonction elle-même à cette intégrale, on aura ${\frac {(x+1)x(x-1)}{1.2.3}}\,;$ la valeur de $x$ nulle répond à $t_{4}=s+2-t_{5}-\ldots -t_{i},$ et sa plus grande valeur répond à $t_{4}$ nul, et par conséquent elle est égale à $s+2-t_{5}-\ldots -t_{i}\,;$ en substituant donc pour $x$ cette valeur dans l’intégrale précédente, on aura

${\frac {\begin{aligned}&\left(s+3-t_{5}-t_{6}-\ldots -t_{i}\right)\left(s+2-t_{5}-t_{6}-\ldots -t_{i}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \times \left(s+1-t_{5}-t_{6}-\ldots -t_{i}\right)\end{aligned}}{1.2.3}}.$

pour la somme de toutes les combinaisons relatives aux variations de $t_{1},t_{2},t_{3},t_{4}.$ En continuant ainsi, on trouvera généralement que le nombre total des combinaisons qui donnent l’équation (1), dans la supposition où les variables $t_{1},t_{2},\ldots ,t_{i}$ peuvent s’étendre indéfiniment depuis zéro, est

$(a)\qquad \qquad \qquad {\frac {(s+i-1)(s+i-2)(s+i-3)\ldots (s+1)}{1.2.3\ldots (i+1)}}\,;$