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pour la probabilité que la fonction $(m)$ sera comprise dans les limites zéro et $ar{\sqrt {s}},$ l’intégrale étant prise depuis $r$ nul.

Nous avons besoin ici de connaître la probabilité de l’erreur $u$ de l’élément déterminé en faisant nulle la fonction $(m).$ Cette fonction étant supposée égale à $l$ ou à $ar{\sqrt {s}},$ on aura, par ce qui précède,

$u\mathrm {S} m^{(i)}p^{(i)}=ar{\sqrt {s}}\,;$

en substituant cette valeur dans la fonction intégrale précédente, elle devient

${\frac {\mathrm {S} m^{(i)}p^{(i)}}{2a{\sqrt {{\cfrac {k''\pi }{k}}\mathrm {S} m^{(i)2}}}}}\int duc^{-{\frac {ku^{2}\left(\mathrm {S} m^{(i)}p^{(i)}\right)^{2}}{kk''a^{2}\mathrm {S} m^{(i)2}}}}\,;$

c’est l’expression de la probabilité que la valeur de $u$ sera comprise dans les limites zéro et $u,$ c’est aussi l’expression de la probabilité que $u$ sera compris dans les limites zéro et $-u.$ Si l’on fait

$u=2at{\frac {k''}{k}}{\frac {\sqrt {\mathrm {S} m^{(i)2}}}{\mathrm {S} m^{(i)}p^{(i)}}},$

la probabilité précédente devient

${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dtc^{-t^{2}}.$

Maintenant, la probabilité restant la même, $t$ reste le même, et l’intervalle des deux limites de $u$ se resserre d’autant plus que $a{\frac {k''}{k}}{\frac {\sqrt {\mathrm {S} m^{(i)2}}}{\mathrm {S} m^{(i)}p^{(i)}}}$ est plus petit. Cet intervalle restant le même, la valeur de $t,$ et par conséquent la probabilité que l’erreur de l’élément tombe dans cet intervalle, est d’autant plus grande que la même quantité $a{\frac {k''}{k}}{\frac {\sqrt {\mathrm {S} m^{(i)2}}}{\mathrm {S} m^{(i)}p^{(i)}}}$ est plus petite ; il faut donc choisir le système de facteurs $m^{(i)},$ qui rend cette quantité un minimum ; et comme $a,k,k''$ sont les mêmes dans tous ces systèmes, il faut choisir le système qui rend ${\frac {\sqrt {\mathrm {S} m^{(i)2}}}{\mathrm {S} m^{(i)}p^{(i)}}}$ un minimum,