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différence est insensible lorsque $n$ est un grand nombre. Cela posé, considérons dans l’intégrale ${\frac {1}{2}}\int \mathrm {U} d\mu {\sqrt {n}}$ le terme

${\frac {1.3.5\ldots (2i-1){\frac {1}{2}}\mathrm {H} ^{(i)}{\sqrt {n\pi }}}{2^{i}c^{4ir'}}}\int d\mu c^{-\mu ^{2}}\left[1-{\frac {i(2\mu )^{2}}{1.2}}+{\frac {i(i-1)(2\mu )^{4}}{1.2.3.4}}-\ldots \right].$

En étendant l’intégrale depuis $\mu =-\infty$ jusqu’à $\mu =\infty ,$ ce terme devient

${\frac {1.3.5\ldots (2i-1){\frac {1}{2}}\mathrm {H} ^{(i)}\pi {\sqrt {n}}}{2^{i}c^{4ir'}}}\left[1-i+{\frac {i(i-1)}{1.2}}-{\frac {i(i-1)(i-2)}{1.2.3}}+\ldots \right].$

Le facteur $1-i+{\frac {i(i-1)}{1.2}}-\ldots$ est égal à $(1-1)^{i}\,;$ il est donc nul, excepté dans le cas de $i=0,$ où il se réduit à l’unité. Il est visible que les termes de l’expression de $\mathrm {U}$ qui renferment des puissances impaires de $\mu$ donnent un résultat nul dans l’intégrale ${\frac {1}{2}}\int \mathrm {U} d\mu {\sqrt {n}},$ étendue depuis $\mu =-\infty$ jusqu’à $\mu =\infty \,;$ car ces termes ont pour facteur $c^{-\mu ^{2}},$ et l’on a généralement dans ces limites

$\int \mu ^{2i+1}d\mu c^{-\mu ^{2}}=0.$

Il n’y a donc que le premier terme de l’expression de $\mathrm {U} ,$ terme que nous représenterons par $\mathrm {H} c^{-\mu ^{2}},$ qui puisse donner un résultat dans l’intégrale ${\frac {1}{2}}\int \mathrm {U} d\mu {\sqrt {n}},$ et ce résultat est ${\frac {1}{2}}\mathrm {H} {\sqrt {n\mu }}\,;$ on a donc

${\frac {1}{2}}\mathrm {H} {\sqrt {n\mu }}=1\,;$

par conséquent,

$\mathrm {H} ={\frac {2}{\sqrt {n\mu }}}.$

L’expression générale de $\mathrm {U}$ a ainsi la forme suivante

$(k)\quad \mathrm {U} ={\frac {2c^{-\mu ^{2}}}{\sqrt {n\mu }}}$

$\times \left\{{\begin{aligned}&1+{\frac {\mathrm {Q} ^{(1)}\left(1-2\mu ^{2}\right)}{c^{4r'}}}+{\frac {\mathrm {Q} ^{(2)}\left(1-4\mu ^{2}+{\frac {4}{3}}\mu ^{4}\right)}{c^{8r'}}}+\ldots \\&+{\frac {\mathrm {L} ^{(0)}\mu }{c^{2r'}}}+{\frac {\mathrm {L} ^{(1)}\mu \left(1-{\frac {2}{3}}\mu ^{2}\right)}{c^{6r'}}}+{\frac {\mathrm {L} ^{(2)}\mu \left(1-{\frac {4}{3}}\mu ^{2}+{\frac {4}{15}}\mu ^{4}\right)}{c^{10r'}}}+\ldots \end{aligned}}\right\},$

$\mathrm {Q} ^{(1)},\mathrm {Q} ^{(2)},\ldots ,\mathrm {L} ^{(0)},\mathrm {L} ^{(1)},\ldots$ étant des constantes indéterminées, qui dépendent de la valeur initiale de $\mathrm {U} .$