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supposer

$y=\mathrm {H} c^{-\mathrm {M-P} z^{2}}.$

La valeur de $a$ donnée par l’équation $\mathrm {N} =0,$ ou

$0=a\psi '(a^{2})+(a-q)\psi '(a-q)^{2}+\left(a-q^{(1)}\right)\psi '\left(a-q^{(1)}\right)^{2}+\ldots ,$

est alors l’abscisse $x$ correspondante à l’ordonnée qui divise l’aire de la courbe en parties égales. La condition que l’aire entière de la courbe doit représenter la certitude ou l’unité donne

${\frac {1}{\mathrm {M} }}=\int dzc^{-\mathrm {M-P} z^{2}},$

l’intégrale étant prise depuis $z=-\infty$ jusqu’à $z=\infty ,$ ce qui donne

$\mathrm {H} ={\frac {c^{\mathrm {M} }{\sqrt {\mathrm {P} }}}{\sqrt {\pi }}}.$

L’erreur moyenne à craindre en plus ou en moins, en prenant a pour résultat moyen des observations, est $\pm \int zydz,$ l’intégrale étant prise depuis $z$ nul jusqu’à $z$ infini, ce qui donne pour cette erreur

$\pm {\frac {1}{2{\sqrt {\pi \mathrm {P} }}}}.$

Mais l’ignorance entière où l’on est de la loi $c^{-\psi \left(x^{2}\right)}$ des erreurs de chaque observation ne permet pas de former l’équation

$0=a\psi '(a^{2})+(a-q)\psi '(a-q)^{2}+\ldots .$

Ainsi, la connaissance des valeurs de $q,q^{(1)},\ldots$ ne donnant a posteriori aucune lumière sur le résultat moyen $a$ des observations, il faut s’en tenir au résultat le plus avantageux déterminé a priori, et que l’on a vu être celui que fournit la méthode des moindres carrés des erreurs.

Cherchons la fonction $\psi (x^{2})$ qui donne constamment la règle des milieux arithmétiques, admise par les observateurs. Pour cela, concevons que, sur les $s$ observations, les $i$ premières coïncident, ainsi que les $s-i$ dernières. L’équation $\mathrm {N} =0$ devient alors

$0=ia\psi '(a^{2})+(s-i)(a-q)\psi '(a-q)^{2}.$