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Supposons $a=b\,;\ \sin {\frac {(r+1)a\pi }{a+b}}$ deviendra $\sin {\frac {1}{2}}r+1)\pi .$ Ce sinus est nul, lorsque $r+1$ est pair ; il suffit donc alors de considérer, dans l’expression de $y_{a,a+2i},$ les valeurs impaires de $r+1.$ En les exprimant par $2s+1,$ et observant que $\sin {\frac {(2s+1)\pi }{2}}=(-1)^{s},$ on aura

${\begin{aligned}y_{a,a+2i}&={\frac {p^{a}}{p^{a}+q^{a}}}\\&-{\frac {2^{a+2i+1}p^{a}(pq)^{i+1}}{a}}\mathrm {S} {\frac {(-1)^{s}\sin {\cfrac {(2s+1)\pi }{a}}\left[\cos {\cfrac {(2s+1)\pi }{2a}}\right]^{a+2i}}{p^{2}-2pq\cos {\frac {(2s+1)\pi }{a}}+q^{2}}},\end{aligned}}$

$2s+1$ devant comprendre toutes les valeurs impaires contenues dans $a-1.$

Si l’on change, dans cette expression, $p$ en $q,$ et réciproquement, on aura la probabilité du joueur $\mathrm {B}$ pour gagner la partie en $a+2i$ coups. La somme de ces deux probabilités sera la probabilité que la partie sera finie après ce nombre de coups ; cette dernière probabilité est donc

$1-{\frac {2^{a+2i+1}}{a}}\left(p^{a}+q^{a}\right)(pq)^{i+1}\mathrm {S} {\frac {(-1)^{s}\sin {\cfrac {(2s+1)\pi }{a}}\left[\cos {\cfrac {(2s+1)\pi }{2a}}\right]^{a+2i}}{p^{2}-2pq\cos {\frac {(2s+1)\pi }{a}}+q^{2}}}.$

Si les adresses $p$ et $q$ sont égales, cette expression devient

$1-{\frac {2}{a}}\mathrm {S} {\frac {(-1)^{s}\left[\cos {\cfrac {(2s+1)\pi }{2a}}\right]^{a+2i+1}}{\sin {\cfrac {(2s+1)\pi }{a}}}}.$

Lorsque $a+2i$ est un grand nombre, on peut en conclure d’une manière fort approchée le nombre de coups nécessaire pour que la probabilité que la partie finira dans ce nombre de coups soit égale à une fraction donnée ${\frac {1}{k}}.$ On aura alors

${\frac {2}{a}}\mathrm {S} {\frac {(-1)^{s}\left[\cos {\cfrac {(2s+1)\pi }{2a}}\right]^{a+2i+1}}{\sin {\cfrac {(2s+1)\pi }{a}}}}={\frac {k-1}{k}}\,;$