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LIVRE PREMIER.

on aura ainsi

\int {\frac {dxc^{-x}}{x^{\mu }}}={\frac {c^{\mu }{\sqrt {-1}}}{(-1)^{\mu }}}\int {\frac {d\varpi c^{-\varpi }{\sqrt {-1}}}{\left(\mu -\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{\mu }}}.

L’intégrale relative à $x$ devant s’étendre entre les deux limites qui rendent nulle la quantité ${\frac {c^{-x}}{x^{\mu }}},$ il est clair que l’intégrale relative à $\varpi$ doit s’étendre depuis $\varpi =-\infty$ jusqu’à $\varpi =\infty \,;$ en réunissant donc les deux quantités, ${\frac {c^{-\varpi }{\sqrt {-1}}}{\left(\mu -\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{\mu }}}$ et ${\frac {c^{\varpi }{\sqrt {-1}}}{\left(\mu +\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{\mu }}},$ qui répondent aux mêmes valeurs de $\varpi ,$ affectées de signes contraires, on aura

\int {\frac {dxc^{-x}}{x^{\mu }}}={\frac {c^{\mu }{\sqrt {-1}}}{(-1)^{\mu }}}\left\{{\begin{aligned}&\cos \varpi {\frac {\left(\mu +\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{\mu }+\left(\mu -\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{\mu }}{\left(\mu ^{2}+\varpi ^{2}\right)^{\mu }}}\\&+{\sqrt {-1}}\sin \varpi {\frac {\left(\mu -\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{\mu }-\left(\mu +\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{\mu }}{\left(\mu ^{2}+\varpi ^{2}\right)^{\mu }}}\end{aligned}}\right\},

l’intégrale relative à $\varpi$ étant prise depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =\infty .$ Si l’on développe les quantités sous le signe $\int ,$ les imaginaires disparaissent, et il ne reste qu’une fonction réelle que nous désignerons par $\mathrm {Q} d\varpi \,;$ on aura ainsi