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LIVRE PREMIER.
on aura ainsi
![{\displaystyle \int {\frac {dxc^{-x}}{x^{\mu }}}={\frac {c^{\mu }{\sqrt {-1}}}{(-1)^{\mu }}}\int {\frac {d\varpi c^{-\varpi }{\sqrt {-1}}}{\left(\mu -\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{\mu }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6ee1ec6e62de3923b11e2628c2eed9e0cd4fa91)
L’intégrale relative à
devant s’étendre entre les deux limites qui rendent nulle la quantité
il est clair que l’intégrale relative à
doit s’étendre depuis
jusqu’à
en réunissant donc les deux quantités,
et
qui répondent aux mêmes valeurs de
affectées de signes contraires, on aura
![{\displaystyle \int {\frac {dxc^{-x}}{x^{\mu }}}={\frac {c^{\mu }{\sqrt {-1}}}{(-1)^{\mu }}}\left\{{\begin{aligned}&\cos \varpi {\frac {\left(\mu +\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{\mu }+\left(\mu -\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{\mu }}{\left(\mu ^{2}+\varpi ^{2}\right)^{\mu }}}\\&+{\sqrt {-1}}\sin \varpi {\frac {\left(\mu -\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{\mu }-\left(\mu +\varpi {\sqrt {-1}}\right)^{\mu }}{\left(\mu ^{2}+\varpi ^{2}\right)^{\mu }}}\end{aligned}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bffd8b235e842699f96dc69991beaf4b74b0a5ef)
l’intégrale relative à
étant prise depuis
jusqu’à
Si l’on développe les quantités sous le signe
les imaginaires disparaissent, et il ne reste qu’une fonction réelle que nous désignerons par
on aura ainsi
![{\displaystyle \int {\frac {dxc^{-x}}{x^{\mu }}}={\frac {c^{\mu }{\sqrt {-1}}}{(-1)^{\mu }}}\int \mathrm {Q} d\varpi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/238f4a2512cbff9ff50f203d67e877b1967dc9ba)
partant
![{\displaystyle y_{-s}={\frac {\mathrm {Y} c^{s-\mu }{\sqrt {2\pi }}\left(1-{\cfrac {1}{12s}}+{\cfrac {1}{288s^{2}}}-\ldots \right)}{(-1)^{s-\mu }s^{s-{\frac {1}{2}}}\int \mathrm {Q} d\varpi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a02a11200b00343794a93ce992af53bdff6ac5)
Voyons présentement quelle fonction de
est
Pour cela, reprenons l’équation primitive
![{\displaystyle 0=(s+1)y_{s}-y_{s+1}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4cbe4955fdefde9f8f253bc0e410fda3ec9f3dd)
en y changeant
dans
et faisant
elle devient
![{\displaystyle 0=(s+1)u_{s}-u_{s-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e90d9ad8b6b75a60a559ace9d510285eb7f84220)
équation dont l’intégrale est
![{\displaystyle u_{s}={\frac {(-1)^{s-\mu }\mathrm {Y} }{\mu (1+\mu )(2+\mu )\ldots (s-1)}}=y_{-s},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78711ebfba7cd6fc9a92c501e441262be1c99ba3)