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en faisant $i$ négatif, la caractéristique $\Delta$ se change dans le signe intégral $\Sigma .$ Si l’on suppose $\alpha$ infiniment petit et égal à $dx,$ on aura

${\frac {1}{t^{\alpha }}}=1+dx\log {\frac {1}{t}}\,;$

on aura donc, en observant qu’alors $\Delta ^{i}y_{x}$ se change dans $d^{i}y_{x},$

${\frac {d^{i}y_{x}}{dx^{i}}}=\int \mathrm {T} dtt^{-x}\left(\log {\frac {1}{t}}\right)^{i}.$

On trouvera de la même manière, et en adoptant les dénominations du n^o 2,

$\nabla ^{i}y_{x}\int \mathrm {T} dtt^{-x}\left(a+{\frac {b}{t}}+\ldots +{\frac {q}{t^{n}}}\right)^{i}.$

Ainsi la même analyse, qui donne les fonctions génératrices des dérivées successives des variables, donne les fonctions, sous le signe $\int ,$ des intégrales définies qui expriment ces dérivées. La caractéristique $\nabla ^{i}$ n’exprime, à proprement parler, qu’un nombre $i$ d’opérations consécutives ; la considération des fonctions génératrices réduit ces opérations à des élévations d’un polynôme à ses diverses puissances, et la considération des intégrales définies donne directement l’expression de $\nabla ^{i}y_{x},$ dans le cas même où l’on supposerait $i$ un nombre fractionnaire.

Mais le grand avantage de cette transformation des expressions analytiques en intégrales définies est de fournir une approximation aussi commode que convergente de ces expressions, lorsqu’elles sont formées d’un grand nombre de termes et de facteurs ; c’est ce qui a lieu dans la théorie des probabilités, quand le nombre des événements que l’on considère est très grand. Alors le calcul numérique des résultats auxquels on est conduit par la solution des problèmes devient impraticable, et il est indispensable d’avoir pour ce calcul une méthode d’approximation d’autant plus convergente que ces résultats sont plus compliqués.

Leur expression en intégrales définies procure cet avantage, et celui de donner les lois suivant lesquelles la probabilité des résultats