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Ce rapport est égal au produit d’une suite infinie de fractions, dont la première est ${\frac {(2s+1)^{2}}{2s(2s+2)}},$ et dont les autres s’en déduisent, en augmentant successivement $s$ d’une unité ; il devient ${\frac {y_{s}}{y_{s-{\frac {1}{2}}}}},$ en y changeant $s$ dans $s+{\frac {1}{2}},$ et la fraction ${\frac {(2s+1)^{2}}{2s(2s+2)}}$ devient ${\frac {(2s+2)^{2}}{(2s+1)(2s+3)}}$ quel que soit $s,$

${\frac {(2s+1)^{2}}{2s(2s+2)}}>{\frac {(2s+2)^{2}}{(2s+1)(2s+3)}}\,;$

on a donc cette inégalité

${\frac {y_{s-{\frac {1}{2}}}}{y_{s-1}}}>{\frac {y_{s}}{y_{s-{\frac {1}{2}}}}}.$

En y changeant $s$ en $s-{\frac {1}{2}},$ on aura

${\frac {y_{s-1}}{y_{s-{\frac {3}{2}}}}}>{\frac {y_{s-{\frac {1}{2}}}}{y_{s-1}}}.$

Ces deux inégalités donnent

${\frac {y_{s-{\frac {1}{2}}}}{y_{s-1}}}>{\sqrt {\frac {y_{s}}{y_{s-1}}}}<{\sqrt {\frac {y_{s-{\frac {1}{2}}}}{y_{s-{\frac {3}{2}}}}}}.$

Substituant au lieu des rapports ${\frac {y_{s}}{y_{s-1}}}$ et ${\frac {y_{s-{\frac {1}{2}}}}{y_{s-{\frac {3}{2}}}}}$ leurs valeurs données par les équations aux différences en $y_{s},$ on aura

${\frac {y_{s-{\frac {1}{2}}}}{y_{s-1}}}>{\sqrt {1+{\frac {1}{2s}}}}<{\sqrt {1+{\frac {1}{2s-1}}}}\,;$

on aura donc

(A)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {4}{\pi }}>{\frac {3.3}{2.4}}.{\frac {5.5}{4.6}}\ldots {\frac {(2s-1)(2s-1)}{(2s-2)2s}}{\sqrt {1+{\frac {1}{2s}}}},\\&{\frac {4}{\pi }}<{\frac {3.3}{2.4}}.{\frac {5.5}{4.6}}\ldots {\frac {(2s-1)(2s-1)}{(2s-2)2s}}{\sqrt {1+{\frac {1}{2s-1}}}}.\end{aligned}}\right.$

Wallis publia en 1667, dans son Arithmetica infinitorum, ce beau théo-