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THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

la quantité elle-même. La fonction génératrice de la différence finie de $\Delta y_{x},$ différence que l’on désigne par $\Delta ^{2}y_{x},$ est ainsi $u\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}\,;$ celle de la différence finie de $\Delta ^{2}y_{x},$ ou $\Delta ^{3}y_{x},$ est $u\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{3},$ d’où l’on peut généralement conclure que la fonction génératrice de la différence finie $\Delta ^{i}y_{x}$ est $u\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{i}.$

Pareillement, le coefficient de $t^{x}$ dans le développement de

$u\left(a+{\frac {b}{t}}+{\frac {c}{t^{2}}}+{\frac {e}{t^{3}}}+\ldots +{\frac {q}{t^{n}}}\right)$

est

$ay_{x}+by_{x+1}+cy_{x+2}+ey_{x+3}+\ldots +qy_{x+n}\,;$

en nommant donc $\nabla y_{x}$ cette quantité, sa fonction génératrice sera

$u\left(a+{\frac {b}{t}}+{\frac {c}{t^{2}}}+\ldots +{\frac {q}{t^{n}}}\right).$

Si l’on nomme $\nabla ^{2}y_{x}$ ce que devient $\nabla y_{x}$ lorsqu’on y change $y_{x}$ dans $\nabla y_{x}\,;$ si l’on nomme pareillement $\nabla ^{3}y_{x}$ ce que devient $\nabla ^{2}y_{x}$ lorsqu’on y change $\nabla y_{x}$ dans $\nabla ^{2}y_{x}$ et ainsi de suite, leurs fonctions génératrices correspondantes seront

${\begin{aligned}&u\left(a+{\frac {b}{t}}+{\frac {c}{t^{2}}}+\ldots +{\frac {q}{t^{n}}}\right)^{2},\\&u\left(a+{\frac {b}{t}}+{\frac {c}{t^{2}}}+\ldots +{\frac {q}{t^{n}}}\right)^{3},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et généralement la fonction génératrice de $\nabla ^{i}y_{x}$ sera

$u\left(a+{\frac {b}{t}}+{\frac {c}{t^{2}}}+\ldots +{\frac {q}{t^{n}}}\right)^{i}.$

De là il est facile de conclure généralement que la fonction génératrice de $\Delta ^{i}\nabla ^{s}y_{x+r}$ est

${\frac {u}{t^{r}}}\left(a+{\frac {b}{t}}+{\frac {c}{t^{2}}}+\ldots +{\frac {q}{t^{n}}}\right)^{s}\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{i}.$

On peut généraliser encore ces résultats, en supposant que $\nabla y_{x},$ repré-