CHAPITRE VIII.
des durées moyennes de la vie, des mariages et des associations quelconques.
35. Supposons que l’on ait suivi sur un très grand nombre 
d’enfants la loi de mortalité, depuis leur naissance jusqu’à leur extinction totale ; on aura leur vie moyenne, en faisant une somme des durées de toutes leurs vies et en la divisant par le nombre 
Si ce nombre était infini, on aurait exactement la durée de la vie moyenne. Cherchons la probabilité que la vie moyenne des enfants ne s’écartera de celle-ci que dans des limites données.
Désignons par 
la probabilité de mourir à l’âge 
étant la limite de et 
étant supposés renfermer un nombre infini de parties prises pour l’unité. Considérons la puissance
![{\displaystyle \left[{\begin{aligned}\varphi \left({\frac {0}{a}}\right)&+\varphi \left({\frac {1}{a}}\right)c^{-2\varpi {\sqrt {-1}}}+\varphi \left({\frac {2}{a}}\right)c^{-2\varpi {\sqrt {-1}}}+\ldots \\&+\varphi \left({\frac {x}{a}}\right)c^{-x\varpi {\sqrt {-1}}}+\ldots +\varphi \left({\frac {a}{a}}\right)c^{-a\varpi {\sqrt {-1}}}\end{aligned}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2af991fa711d133712318488b692552928b53f5)
Il est visible que le coefficient de 
dans le développement de cette puissance, est la probabilité que la somme des âges auxquels les enfants parviendront sera 
en multipliant donc par 
la puissance précédente, le terme indépendant des puissances de 
dans le produit sera cette probabilité, qui, par consé-
