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Développons maintenant le second membre de l’équation (A), suivant les puissances de ${\frac {1}{c^{2r'}}},$ et considérons un des termes de ce développement, tel que

${\frac {\mathrm {H} ^{(i)}c^{-\mu ^{2}}}{c^{4ir'}}}\int dsc^{-s^{2}}\left(s-\mu {\sqrt {-1}}\right)^{2i}\,;$

ce terme devient, après les intégrations,

${\frac {1.3.5\ldots (2i-1)}{2^{i}}}{\sqrt {\pi }}{\frac {\mathrm {H} ^{(i)}c^{-\mu ^{2}}}{c^{4ir'}}}$

$\times \left[1-{\frac {i(2\mu )^{2}}{1.2}}+{\frac {i(i-1)(2\mu )^{4}}{1.2.3.4}}-{\frac {i(i-1)(i-2)(2\mu )^{6}}{1.2.3.4.5.6}}+\ldots \right].$

Considérons encore un terme de ce développement, relatif aux puissances impaires de ${\frac {1}{c^{2r'}}},$ tel que

${\frac {\mathrm {L} ^{(i)}{\sqrt {-1}}c^{-\mu ^{2}}}{c^{(4i+2)r'}}}\int dsc^{-s^{2}}\left(s-\mu {\sqrt {-1}}\right)^{2i+1}.$

Ce terme devient, après les intégrations,

${\frac {1.3.5\ldots (2i+1)\mathrm {L} ^{(i)}{\sqrt {\pi }}c^{-\mu ^{2}}}{2^{i}c^{(4i+2)r'}}}\left[1-{\frac {i(2\mu )^{2}}{1.2.3}}+{\frac {i(i-1)(2\mu )^{4}}{1.2.3.4.5}}-\ldots \right].$

On aura donc ainsi l’expression générale de la probabilité $\mathrm {U} ,$ développée dans une série ordonnée suivant les puissances de ${\frac {1}{c^{2r'}}},$ série qui devient très convergente lorsque $r'$ est un nombre considérable. Cette expression doit être telle que $\int \mathrm {U} dx$ ou ${\frac {1}{2}}\int \mathrm {U} d\mu {\sqrt {n}}$ soit égale à l’unité, les intégrales étant étendues à toutes les valeurs de $x$ et de $\mu ,$ c’est à-dire depuis $x$ nul jusqu’à $x=n,$ et depuis $\mu =-{\sqrt {n}}$ jusqu’à $\mu ={\sqrt {n}}\,;$ car il est certain que, l’une des valeurs de $x$ devant avoir lieu, la somme des probabilités de toutes ces valeurs doit être égale à l’unité. En prenant l’intégrale $\int c^{-\mu ^{2}}d\mu$ dans les limites de $\mu ,$ on a le même résultat, à très peu près, qu’en la prenant depuis $\mu =-\infty$ jusqu’à $\mu =\infty \,;$ la différence n’est que de l’ordre ${\frac {c^{-n}}{\sqrt {n}}},$ et vu l’extrême rapidité avec laquelle $c^{-n}$ diminue à mesure que $n$ augmente, on voit que cette