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Cette valeur satisfait donc à l’équation proposée aux différences partielles. Il est visible que chacune des racines $q',q'',\ldots$ fournit une valeur semblable, dans laquelle on peut introduire une autre arbitraire. Nous désignerons par $\varphi _{1}(x'),\varphi _{2}(x'),\ldots$ ces nouvelles arbitraires. La réunion de toutes ces valeurs satisfera à l’équation proposée, parce qu’elle est linéaire, et cette réunion en sera l’intégrale complète, qui est ainsi

${\begin{aligned}y_{x,x'}&=\left(1+{\frac {\alpha }{q}}\right)^{x+{\frac {x'}{\alpha }}}\left(-{\frac {q}{\alpha }}\right)^{x}{'}\Delta ^{x}\varphi (x')\\&+\left(1+{\frac {\alpha }{q'}}\right)^{x+{\frac {x'}{\alpha }}}\left(-{\frac {q'}{\alpha }}\right)^{x}{'}\Delta ^{x}\varphi _{1}(x')\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Si l’on suppose $\alpha$ infiniment petit et égal à $dx'\,;$ si l’on observe d’ailleurs que

$\left(1+{\frac {dx'}{q}}\right)^{x+{\frac {x'}{dx'}}}=c^{\frac {x'}{q}},$

comme il est facile de s’en convaincre, en prenant les \logarithmes de chaque membre de cette équation, on aura

$y_{x,x'}=c^{\frac {x'}{q}}(-q)^{x}\left[{\frac {d^{x}\varphi (x')}{dx'^{x}}}\right]+c^{\frac {x'}{q'}}(-q')^{x}\left[{\frac {d^{x}\varphi _{1}(x')}{dx'^{x}}}\right]+\ldots \,;$

c’est l’intégrale complète de l’équation aux différences partielles finies et infiniment petites

$0=\Delta ^{n}y_{x,x'}+a\Delta ^{n-1}\left({\frac {dy_{x,x'}}{dx'}}\right)+b\Delta ^{n-2}\left({\frac {d^{2}y_{x,x'}}{dx'^{2}}}\right)+\ldots .$

Toutes les équations aux différences partielles que nous avons examinées jusqu’ici n’ont point de dernier terme indépendant de la variable principale. Si elles en avaient, on y aurait égard, et l’on intégrerait ces équations par la méthode que nous avons donnée pour cet objet, relativement aux équations aux simples différences, et qu’il est facile d’appliquer aux équations à différences partielles.