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des fonctions de $x$ élevées à de grandes puissances de l’ordre ${\frac {1}{\alpha }},\ \alpha$ étant une fraction extrêmement petite, alors $\mathrm {U}$ est le plus souvent de l’ordre ${\sqrt {\alpha }},$ ainsi que ses différences successives ; $\mathrm {U} ,{\frac {d.\mathrm {U} ^{2}}{dx}},{\frac {d^{2}.\mathrm {U} ^{3}}{dx^{2}}},\ldots$ sont respectivement des ordres ${\sqrt {\alpha }},\alpha ,\alpha ^{\frac {3}{2}},\ldots \,;$ d’où il suit que la convergence des séries de la formule (3) exige que $\mathrm {T}$ et $\mathrm {T} '$ ne soient pas d’un ordre supérieur à ${\frac {1}{\alpha }}.$

Si l’on suppose $\theta =\theta ',$ alors on a à fort peu près $\mathrm {T=T'} ,$ et la formule (3) se réduit, en négligeant les termes de l’ordre $\alpha ,$ à l’intégrale ${\frac {\int dtc^{-t^{2}}}{\sqrt {\pi }}}$ prise depuis $t=-\mathrm {T}$ jusqu’à $t=\mathrm {T} '\,;$ ce qui revient, en négligeant le carré de la différence $\mathrm {T'^{2}-T^{2}} ,$ à doubler l’intégrale précédente et à la prendre depuis $t$ nul jusqu’à

$t={\sqrt {\frac {\mathrm {T^{2}+T'^{2}} }{2}}}.$

Or on a

$\mathrm {T} ^{2}=\log \mathrm {Y} -\log y,$

et l’on peut supposer

$\log y={\frac {1}{\alpha }}\log \varphi ,$

$\varphi$ étant une fonction de $x$ ou de $a-\theta ,$ qui ne renferme plus de facteurs élevés à de grandes puissances. En nommant donc $\Phi ,{\frac {d\Phi }{dx}},$${\frac {d^{2}\Phi }{dx^{2}}},\ldots$ ce que deviennent, lorsque $\theta$ est nul, $\varphi ,{\frac {d\varphi }{dx}},{\frac {d^{2}\varphi }{dx^{2}}},\ldots ,$ en observant ensuite que la condition de $\mathrm {Y}$ ou $\Phi$ un maximum donne ${\frac {d\Phi }{dx}}=0,$ on aura

$\alpha \mathrm {T} ^{2}=-\theta ^{2}{\frac {d^{2}\Phi }{2\Phi dx^{2}}}+\theta ^{3}{\frac {d^{3}\Phi }{6\Phi dx^{3}}}-{\frac {\theta ^{4}}{8}}\left[{\frac {d^{4}\Phi }{3\Phi dx^{4}}}-\left({\frac {d^{2}\Phi }{\Phi dx^{2}}}\right)^{4}\right]+\ldots .$

En changeant $\theta$ dans $-\theta ,$ on aura la valeur de $\alpha \mathrm {T} '^{2}\,;$ on aura donc, en négligeant les termes de l’ordre $\alpha ^{2},$

${\frac {\alpha \left(\mathrm {T^{2}+T'^{2}} \right)}{2}}=-\theta ^{2}{\frac {d^{2}\Phi }{2\Phi dx^{2}}}\,;$