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nomme $\mathrm {F}$ le capital relatif à l’âge $\mathrm {A}$ et $\mathrm {F} '$ le capital relatif à l’âge $\mathrm {A} +1,$ on a

$\mathrm {F} ={\frac {y_{1}}{y_{0}}}{\frac {\mathrm {F} '+h}{1+r}}.$

Mais ce procédé se simplifie lorsque la loi de mortalité est connue, et surtout lorsqu’elle est donnée par une fonction rationnelle et entière de $x,$ ce qui est toujours possible, en considérant les nombres de la Table de mortalité comme des ordonnées dont les âges correspondants sont les abscisses, et en faisant passer une courbe parabolique par les extrémités des deux ordonnées extrêmes et de plusieurs ordonnées intermédiaires. Les différences qui existent entre les diverses Tables de mortalité permettent de regarder ce moyen comme aussi exact que ces Tables, et même de s’en tenir à un petit nombre d’ordonnées.

Faisons

${\frac {1}{1+r}}=p,\qquad {\frac {y_{x}}{y_{0}}}=u\,;$

reprenons la formule (16) du n^o 11 du Livre I^er qui donne

$\sum p^{x}u={\frac {p^{x}}{pc^{\frac {du}{dx}}-1}}+f,$

$f$ étant une constante arbitraire. Il faut, dans le développement du premier terme du second membre de cette équation par rapport aux puissances de ${\frac {du}{dx}},$ changer une puissance quelconque $\left({\frac {du}{dx}}\right)^{i}$ dans ${\frac {d^{i}u}{dx^{i}}},$ et multiplier par $u$ le premier terme, qui est indépendant de ${\frac {du}{dx}}.$ On a ainsi

$\sum p^{x}u=f-{\frac {p^{x}u}{1-p}}-{\frac {p^{x+1}{\frac {du}{dx}}}{(1-p)^{2}}}-{\frac {(p+1)p^{x+1}}{1.2.(1-p)^{3}}}{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\ldots .$

Pour déterminer $f,$ on observera que l’intégrale $\sum p^{x}u$ est nulle lorsque $x=1,$ et qu’elle se termine lorsque $x=n+1,\ \mathrm {A} +n$ étant la limite de la vie ; car alors elle embrasse les termes correspondants à tous les nombres $1,2,3,\ldots ,n.$ Désignons donc par $(u),\left({\frac {du}{dx}}\right),\ldots ,$