Si l’on examine avec attention la forme de l’expression générale qui donne on reconnaîtra que ce problème peut encore être résolu, et même avec simplicité, au moyen de la théorie des combinaisons : en effet, soient le nombre des boules blanches contenues dans l’urne du joueur et celui des noires ; le nombre des boules blanches du joueur et celui des noires ; en considérant, comme on l’a déjà fait, l’ensemble de deux tirages successifs de et comme un coup.
sera le nombre des combinaisons dans lesquelles les joueurs amènent chacun une boule blanche ;
celui des combinaisons qui donneront une boule blanche à et une noire à
celui des combinaisons qui donneront, au contraire, une boule noire à et une blanche à
celui des combinaisons dans lesquelles l’un et l’autre joueur tirent une boule noire ;
Et la somme formera l’ensemble de toutes les combinaisons qui peuvent avoir lieu dans un coup. Les combinaisons où les joueurs amènent chacun une boule noire n’apportant aucun changement à leur position, nous pouvons en faire abstraction, et alors ne nous occuper que des coups où il sera amené au moins une boule blanche. Il est visible qu’en coups semblables l’un des joueurs a nécessairement gagné, et la partie doit être décidée : or le nombre de toutes les combinaisons également possibles, suivant lesquelles ces coups peuvent se présenter, sera
la question se réduit donc à choisir dans toutes ces combinaisons celles qui font gagner le joueur c’est-à-dire celles dans lesquelles ce joueur aura boules blanches avant que le joueur en ait amené Pour fixer les idées, supposons plus grand que on peut former les hypothèses suivantes : ou le joueur aura gagné au ième coup, c’est-à-dire en tirant sans interruption une boule blanche à chaque coup, et alors le nombre des combinaisons précédentes qui se rappor-
