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suite ; 4^o enfin, $k+t$ au lieu de $t,\ k_{1}+t_{1}$ au lieu de $t_{1},$ et ainsi du reste, dans $\psi \left(t,t_{1},t_{2},\ldots \right)\,;$ la fonction (A) deviendra

(A’)

$\left\{{\begin{aligned}\psi &\left(k+s-t_{1}-t_{2}-t_{3}-\ldots ,k_{1}+t_{1},k_{2}+t_{2},\ldots \right)\\&\times \left[\varphi \left(s-t_{1}-t_{2}-t_{3}-\ldots \right)+l^{q}\varphi '\left(s+q-t_{1}-t_{2}-\ldots \right)\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+l^{q'}q\varphi ''\left(s+q'-t_{2}-t_{3}-\ldots \right)+\ldots \right]\\&\times \left[\varphi _{1}\left(t_{1}\right)+l^{q_{1}}\varphi '_{1}\left(q_{1}+t_{1}\right)+l^{q'_{1}}\varphi ''_{1}\left(q'_{1}+t_{1}\right)+\ldots \right]\\&\times \left[\varphi _{2}\left(t_{2}\right)+l^{q_{2}}\varphi '_{2}\left(q'_{2}+t_{2}\right)+\ldots \right].\end{aligned}}\right.$

En multipliant cette fonction par $dt_{1},$ on l’intégrera depuis $t_{1},$ nul jusqu’à $t_{1}=s-t_{2}-t_{3}-\ldots .$ On multipliera ensuite cette première intégrale par $dt_{2},$ et on l’intégrera depuis $t_{2}$ nul jusqu’à $t_{2}=s-t_{3}-t_{4}-\ldots .$ En continuant ainsi, on parviendra à une dernière intégrale, qui sera fonction de $s$, et que nous désignerons par $\Pi (s),$ et cette fonction sera la somme cherchée de toutes les valeurs de $\psi \left(t,t_{1},t_{2},\ldots \right),$ multipliées par leurs probabilités respectives. Mais pour cela il faut avoir soin de changer dans un terme quelconque, multiplié par une puissance de $l,$ telle que $l^{q+q_{1}+q'_{2},\ldots }\ k$ dans la partie de l’exposant de la puissance relative à la variable $t$, et qui dans ce cas est $q\,;$ et, si cette partie manque, il faut supposer $k$ égal à zéro. Il faut pareillement changer $k,$ dans la partie de l’exposant relative à la variable $t_{1},$ et ainsi de suite ; il faut diminuer $s$ de l’exposant entier de la puissance de $l,$ et écrire ainsi, dans le cas présent, $s-q-q_{1}-q'_{2}-\ldots ,$ au lieu de $s,$ et rejeter le terme, si $s,$ ainsi diminué, devient négatif. Enfin il faut supposer $l=1.$

Si $\psi \left(t,t_{1},t_{2},\ldots \right),\ \varphi (t),\varphi '(t),\ldots ,\varphi _{1}(t_{1}),\ldots$ sont des fonctions rationnelles et entières des variables $t,t_{1},t_{2},\ldots$ de leurs exponentielles et de sinus et cosinus, toutes les intégrations successives seront possibles, parce qu’il est de la nature de ces fonctions de se reproduire par les intégrations. Dans les autres cas, les intégrations pourront n’être pas possibles ; mais l’analyse précédente réduit alors le problème aux quadratures. Le cas des fonctions rationnelles et entières offre quelques simplifications que nous allons exposer.