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l’équation devient

$s-2n-2=t'_{1}+t'_{2}+t_{3}+\ldots ,$

et ainsi de suite. On doit donc, dans la fonction $(a)$ que nous avons dérivée de l’équation (1), diminuer $s$ de $n+1,$ relativement au système des variables $t'_{1},t_{2},t_{3},\ldots .$ On doit le diminuer de $2n+2,$ relativement au système des variables $t'_{1},t'_{2},t_{3},\ldots ,$ et ainsi du reste. Il faut par conséquent, dans le développement de la fonction $(b)$ par rapport aux puissances de $l,$ diminuer, dans chaque terme, $s$ de l’exposant de la puissance de $l\,;$ en faisant ensuite $l=1,$ cette fonction devient

$(c)\left\{{\begin{aligned}&{\frac {(s+1)(s+2)\ldots (s+i-1)}{1.2.3\ldots (i-1)(n+1)^{i}}}-{\frac {i(s-n)(s-n+1)\ldots (s+i-n-2)}{1.2.3\ldots (i-1)(n+1)^{i}}}\\&+{\frac {i(i-1)}{1.2}}{\frac {(s-2n-1)(s-2n)\ldots (s+i-2n-3)}{1.2.3\ldots (i-1)(n+1)^{i}}}-\ldots ,\end{aligned}}\right.$

la série devant être continuée jusqu’à ce que l’un des facteurs $s-n,$$s-2n-1,s-3n-2,\ldots$ devienne nul ou négatif.

Cette formule donne la probabilité d’amener un nombre donnée, en projetant $i$ dés d’un nombre $n+1$ de faces chacun, le plus petit nombre marqué sur ces faces étant $1.$ Il est visible que cela revient à supposer dans l’urne précédente tous les nombres des boules augmentés de l’unité, et alors la probabilité d’amener le nombre $s+i$ dans $i$ tirages est la même que celle d’amener le nombre $s$ dans le cas que nous venons de considérer ; or, en faisant $s+i=s',$ on a $s=s'-i\,;$ la formule $(c)$ donnera donc, pour la probabilité d’amener le nombre $s'$ en projetant les $i$ dés,

${\frac {(s'-1)(s'-2)\ldots (s'-i-1)}{1.2.3\ldots (i-1)(n+1)^{i}}}-{\frac {i(s'-n-2)(s'-n-3)\ldots (s'-i-n)}{1.2.3\ldots (i-1)(n+1)^{i}}}$

$+{\frac {i(i-1)}{1.2}}{\frac {(s'-2n-3)(s'-2n-4)\ldots (s'-i-2n-1)}{1.2.3\ldots (i-1)(n+1)^{i}}}-\ldots .$

La formule $(c),$ appliquée au cas où $s$ et $n$ sont des nombres infinis, se transforme dans la suivante :

${\frac {1}{1.2.3\ldots (i-1)^{n}}}\left[\left({\frac {s}{n}}\right)^{i-1}-i\left({\frac {s}{n}}-1\right)^{i-1}+{\frac {i(i-1)}{1.2}}\left({\frac {s}{n}}-2\right)^{i-1}-\ldots \right].$