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CHAPITRE VII.

de l’influence des inégalités inconnues qui peuvent exister
entre des chances que l’on suppose parfaitement égales.

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34. J’ai déjà considéré cette influence dans le n^o 1, où l’on a vu que ces inégalités augmentent la probabilité des événements composés de la répétition des événements simples. Je vais reprendre ici cet objet important dans les applications de l’analyse des probabilités.

Il résulte du numéro cité que si, au jeu de croix et pile, il existe une différence inconnue entre les possibilités d’amener l’un ou l’autre, en nommant $\alpha$ cette différence, en sorte que ${\frac {1\pm \alpha }{2}}$ soit la possibilité d’amener croix, et par conséquent ${\frac {1\mp \alpha }{2}}$ celle d’amener pile, celui des deux signes $+$ et $-$ que l’on doit adopter étant inconnu, la probabilité d’amener croix $n$ fois de suite sera

${\frac {(1+\alpha )^{n}+(1-\alpha )^{n}}{2^{n+1}}}$

ou

(1)

${\frac {1}{2^{n}}}\left[1+{\frac {n(n-1)}{1.2}}\alpha ^{2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3.4}}\alpha ^{4}+\ldots \right].$

Le jeu de croix et pile consiste, comme on sait, à projeter en l’air une pièce très mince, qui retombe nécessairement sur l’une de ses deux faces opposées que l’on nomme croix et pile. On peut diminuer la valeur de $\alpha ,$ en rendant ces deux faces le plus égales qu’il est possible. Mais il est physiquement impossible d’obtenir une égalité parfaite, et