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divisée par le nombre des numéros de l’urne ; elle se transforme, en vertu du témoignage, dans la véracité même du témoin ; elle peut donc être affaiblie par ce témoignage. Si, par exemple, l’urne ne renferme que deux numéros, ce qui donne j pour la probabilité a priori de la sortie du n^o 1, et si la véracité d’un témoin qui l’annonce est ${\frac {1}{10}}$, cette sortie en devient moins probable. En eff’et, il est visible que, le témoin ayant alors plus de pente vers le mensonge que vers la vérité, son témoignage doit diminuer la probabilité du fait attesté, toutes les fois que cette probabilité égale ou surpasse ${\frac {1}{2}}$. Mais, s’il y a trois numéros dans l’urne, la probabilité a priori de la sortie du n^o 1 est accrue par l’affirmation d’un témoin dont la véracité surpasse ${\frac {1}{3}}$.

Supposons maintenant que l’urne renferme 999 boules noires et une boule blanche, et qu’une boule en ayant été extraite, un témoin du tirage annonce que cette boule est blanche. La probabilité de l’événement observé, déterminée a priori dans la première hypothèse, sera ici, comme dans la question précédente, égale à ${\frac {9}{10000}}$. Mais, dans l’hypothèse où le témoin trompe, la boule blanche n’est pas sortie, et la probabilité de ce cas est ${\frac {999}{1000}}$. Il faut la multiplier par la probabilité ${\frac {1}{10}}$ du mensonge, ce qui donne ${\frac {999}{10000}}$ pour la probabilité de l’événement observé, relative à la seconde hypothèse. Cette probabilité n’était que ${\frac {1}{10000}}$ dans la question précédente ; cette grande différence tient à ce qu’une boule noire étant sortie, le témoin qui veut tromper n’a point de choix à faire parmi les 999 boules non sorties, pour annoncer la sortie d’une boule blanche. Maintenant, si l’on forme deux fractions dont les numérateurs soient les probabilités relatives à chaque hypothèse, et dont le dénominateur commun soit la somme de ces probabilités, on aura ${\frac {9}{1008}}$ pour la probabilité de la première hypothèse et de la sortie d’une boule blanche, et ${\frac {999}{1008}}$ pour la probabilité de la seconde hypothèse et de la sortie d’une boule noire. Cette dernière probabilité est fort approchante de la certitude : elle en approcherait beaucoup plus encore, et deviendrait ${\frac {999999}{1000008}}$ si l’urne renfermait un million de boules, dont une seule serait blanche, la sortie d’une boule blanche devenant alors beaucoup plus extraordinaire. On voit ainsi comment