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LIVRE PREMIER.
Si l’on nomme 
la fonction génératrice de 
on aura, en vertu de l’équation précédente,
![{\displaystyle {\begin{aligned}u&\left(a+{\frac {b}{t}}+{\frac {c}{t^{2}}}+\ldots +{\frac {q}{t^{n}}}\right)\\&+t{\frac {d}{dt}}\left[u\left(a'+{\frac {b'}{t}}+{\frac {c'}{t^{2}}}+\ldots +{\frac {q'}{t^{n}}}\right)\right]\\&+t{\frac {d}{dt}}\left\{t{\frac {d}{dt}}\left[u\left(a''+{\frac {b''}{t}}+{\frac {c''}{t^{2}}}+\ldots +{\frac {q''}{t^{n}}}\right)\right]\right\}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\=&\mathrm {A} +\mathrm {B} t+\mathrm {C} t^{2}+\ldots +\mathrm {H} t^{n-1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd15fb1dcfea869eaf8b2b57977ade0e88838119)
étant des constantes arbitraires, qui dépendent des valeurs de 
En effet, si l’on substitue dans cette équation la valeur précédente de en série, on voit qu’en vertu de l’équation différentielle proposée, tous les coefficients de la même puissance de 
disparaissent lorsque cette puissance est égale ou plus grande que 
, et la comparaison des puissances inférieures donne un nombre d’équations, qui déterminent les constantes 
au moyen des valeurs 
L’équation différentielle précédente n’est intégrale généralement que dans le cas où elle est du premier ordre, et alors les coefficients de l’équation aux différences finies en ne renferment que la première puissance de 
dans ce dernier cas, on peut obtenir la fonction génératrice par des quadratures.
21. La connaissance des fonctions génératrices des équations différentielles donne l’expression des intégrales de ces équations au moyen de quadratures définies. Reprenons, pour cela, l’équation
Substituons dans ses deux membres 
au lieu de 
étant toujours le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, et nommons 
ce que devient alors 
En multipliant l’équation par
