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LIVRE PREMIER.
En multipliant ces deux équations l’une par l’autre, on aura
![{\displaystyle \left(1-\mu ^{2}\right)\left(4-\mu ^{2}\right)\ldots \left(s'^{2}-\mu ^{2}\right)={\frac {s'^{2s'+1}c^{-2s'}.2\pi \left(1+{\cfrac {1+6\mu ^{2}}{6s'}}+\ldots \right)}{\int t^{-\mu }dtc^{-t}\int t^{\mu }dtc^{-t}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa1f4717e7a706fd97c1182c08970d318edfb8f5)
L’équation (T) du no 24 donne
![{\displaystyle n^{3}\int t^{n+r-2}dtc^{-t^{n}}\int t^{n-r}dtc^{-t^{n}}={\frac {(r-1)\pi }{\sin {\cfrac {r-1}{n}}\pi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa1fdf6c41914ccf49e2efb3370fdf6d97f7cdc8)
En faisant
et
on a
![{\displaystyle \int t^{\mu }dtc^{-t}\int t^{-\mu }dtc^{-t}={\frac {\mu \pi }{\sin \mu \pi }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/180b8c5ec7a3e8973f0bc32a8340edfa18ab68f6)
on a donc
![{\displaystyle \sin \mu \pi ={\frac {1}{2}}\mu (1-\mu ^{2})(4-\mu ^{2})\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fd0b074ea902e2ce9d18773ad2d12df32a81b53)
![{\displaystyle (s'^{2}-\mu ^{2})\left(1-{\frac {1+6\mu ^{2}}{6s'}}+\ldots \right)s'^{-2s'-1}c^{2s'}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a013b44df79a52e8c8e5a93382f26e632eea2653)
Si l’on fait
infiniment petit, cette équation donne
![{\displaystyle 2\pi =1^{2}.2^{2}.3^{2}\ldots s'^{2}\left(1-{\frac {1}{6s'}}+\ldots \right)s'^{-2s'-1}c^{2s'}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beec2c735be4e93dfa2b211189a4d29661dce24e)
divisant donc l’équation précédente par celle-ci, on aura
![{\displaystyle \sin \mu \pi =\mu \pi \left(1-\mu ^{2}\right)\left(1-{\frac {\mu ^{2}}{4}}\right)\left(1-{\frac {\mu ^{2}}{9}}\right)\ldots \left(1-{\frac {\mu ^{2}}{s'^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\mu ^{2}}{s'}}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca386407c626189c8858c8b587d87ca1a8e41683)
Si l’on fait
infini, on a pour l’expression de
étant égal à
le produit infini
![{\displaystyle \varphi \left(1-{\frac {\varphi ^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\varphi ^{2}}{2^{2}\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\varphi ^{2}}{3^{2}\pi ^{2}}}\right)\left(1-{\frac {\varphi ^{2}}{4^{2}\pi ^{2}}}\right)\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47925075ba84fdca0a0a086e7aceea14bb727504)
l’expression de
est ainsi décomposable dans une infinité de facteurs, ce que l’on sait d’ailleurs.
En supposant
imaginaire et égal à
devient
on a donc
![{\displaystyle c^{\varphi '}-c^{-\varphi '}=2\varphi '\left(1+{\frac {\varphi ^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\varphi '^{2}}{2^{2}\pi ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\varphi '^{2}}{3^{2}\pi ^{2}}}\right)\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef3e07d29af7577f61acc5d78188003dbd594cad)
![{\displaystyle \left(1+{\frac {\varphi '^{2}}{s'^{2}\pi ^{2}}}\right)\left(1+{\frac {\varphi '^{2}}{s'\pi ^{2}}}+\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd110a977dcfb0f5762fac1dd952af9c1ab8b064)