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et la probabilité qu’il sera ${\frac {np}{p+q}}+l$ est, par le même numéro,

${\frac {p+q}{\sqrt {2npq\pi }}}c^{-{\frac {(p+q)^{2}l^{2}}{2npq}}}.$

Si l’on fait

$x={\frac {np}{p+q}}+l,\qquad {\frac {(p+q)^{2}}{2pq}}=i^{2},$

cette fonction devient

${\frac {i}{\sqrt {\pi n}}}c^{-{\frac {i^{2}}{n}}\left(x-{\frac {np}{p+q}}\right)^{2}}\,;$

c’est la valeur de $y_{x,0},$ ou de $y'_{x',0}\,;$ mais la valeur précédente de $y'_{x',r'}$ donne

$y_{x,0}=\varphi \left({\frac {x}{n}}\right)\,;$

on a donc

$\varphi \left({\frac {x}{n}}\right)={\frac {i}{\sqrt {n\pi }}}c^{-t^{2}n\left({\frac {x}{n}}-{\frac {p}{p+q}}\right)^{2}}\,;$

partant,

$y'_{x',r'}={\frac {ic^{r'}}{\sqrt {n\pi }}}c^{-t^{2}n\left({\frac {xc^{r'}}{n}}-{\frac {p}{p+q}}\right)^{2}}\,;$

d’où l’on tire

$y_{x,r}={\frac {ic^{\frac {r}{n}}}{\sqrt {n\pi }}}c^{-{\frac {t^{2}}{n}}\left(xc^{\frac {r}{n}}-{\frac {np}{p+q}}\right)^{2}}.$

La valeur de $x$ la plus probable est celle qui rend nul $xc^{\frac {r}{n}}-{\frac {np}{p+q}},$ et par conséquent elle est égale à

${\frac {np}{(p+q)c^{\frac {r}{n}}}}\,;$

la probabilité que la valeur de $x$ sera contenue dans les limites

${\frac {np}{(p+q)c^{\frac {r}{n}}}}\pm {\frac {\mu {\sqrt {n}}}{c^{\frac {r}{n}}}}$

est

$2\int {\frac {id\mu }{\sqrt {\pi }}}c^{-i^{2}\mu ^{2}},$

l’intégrale étant prise depuis $\mu =0.$