CHAPITRE IX.
des bénéfices dépendants de la probabilité des événements futurs.
38. Concevons que l’arrivée d’un événement procure le bénéfice 
et que sa non-arrivée cause la perte 
Une personne 
attend l’arrivée d’un nombre 
d’événements semblables, tous également probables, mais indépendants les uns des autres ; on demande quel est son avantage.
Soient 
la probabilité de l’arrivée de chaque événement et par conséquent 
celle de sa non-arrivée ; si l’on développe le binôme ![{\displaystyle [q+(1-q)]^{s},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ddf1b3d7cd5cdf3a7db4ca22d308092999f29f7)
le terme
de ce développement sera la probabilité que sur les événements arriveront. Dans ce cas, le bénéfice de est 
et sa perte est 
la différence est 
en la multipliant par sa probabilité exprimée par le terme précédent et prenant la somme de ces produits pour toutes les valeurs de 
on aura l’avantage de 
qui, par conséquent, est égal à
![{\displaystyle -s\mu [q+(1-q)]^{s}+(\nu +\mu )\mathrm {S} {\frac {i.1.2.3\ldots s}{1.2.3\ldots i.1.2.3\ldots (s-i)}}q^{i}(1-q)^{s-i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fac0e3527ce5a7b4ea41417b054027501784e276)
le signe 
s’étendant à toutes les valeurs de 
On a
![{\displaystyle ={\frac {d}{dt}}\mathrm {S} {\frac {1.2.3\ldots s}{1.2.3\ldots i.1.2.3\ldots (s-i)}}q^{i}t^{i}(1-q)^{s-i}={\frac {d}{dt}}[qt+(1-q)]^{s},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ac8aedc728e4a0dbe80ed79030457f35fdc550c)
