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cient de $t^{x-1}dt$ dans la différentielle de la fonction génératrice de $y_{r,x}\,;$ en divisant donc cette différentielle par $dt$ et en y supposant ensuite $t=1,$ on aura la somme de toutes les valeurs de $xy_{r,x}$ jusqu’à $x$ infini ; c’est l’avantage du joueur $(r).$ Mais il faut en retrancher les jetons qu’il met au jeu à chaque coup qu’il perd ; or $y_{r,x}$ étant sa probabilité de gagner la partie au coup $x,\ 2^{n}y_{r,x-n+1}$ sera sa probabilité d’entrer au jeu au coup $x-n+1,$ puisque cette dernière probabilité, multipliée par la probabilité ${\frac {1}{2^{n}}}$ qu’il gagnera ce coup et les $n-1$ coups suivants est sa probabilité de gagner la partie au coup $x.$ En supposant donc qu’il perde autant de fois qu’il entre au jeu, la somme de toutes les valeurs de $2^{n}y_{r,x-n+1}$ jusqu’à $x$ infini, serait le désavantage du joueur $(r)\,;$ et comme la somme de toutes les valeurs de $y_{r,x-n+1}$ est égale à la somme de toutes les valeurs de $y_{r,x}$ ou $y_{r},$ on aurait $2^{n}y_{r}$ ou ${\frac {2^{n}(1-p)p^{r}}{2-p-p^{n}}}$ pour le désavantage du joueur $(r).$ Mais il ne perd pas chaque fois qu’il entre au jeu, parce qu’il peut entrer au jeu et gagner la partie ; il faut donc ôter de $2^{n}y_{r}$ la somme de toutes les valeurs de $y_{x}$ ou $y_{r},$ et alors le désavantage de $(r)$ est ${\frac {\left(2^{n}-1\right)(1-p)p^{r}}{2-p-p^{n}}}.$ Pour avoir l’avantage entier de $(r),$ il faut retrancher cette dernière quantité de la somme des valeurs de $xy_{r,x}\,;$ en désignant donc par $\mathrm {S}$ cette somme, l’avantage du joueur $(r)$ sera

$\mathrm {S} -{\frac {\left(2^{n}-1\right)(1-p)p^{r}}{2-p-p^{n}}},$

$\mathrm {S}$ étant, comme on l’a vu, la différentielle de la fonction génératrice de $y_{r,x}$ divisée par $dt,$ et dans laquelle on suppose ensuite $t=1.$ Dans cette supposition, on a

$\mathrm {T} =p,\qquad {\frac {d\mathrm {T} }{dt}}=-np(1-p).$

Désignons par $\mathrm {Y} _{r}$ l’avantage de $(r),$ on trouvera

$\mathrm {Y} _{r}={\frac {np+1-n}{2-p-p^{n}}}p^{r}\left[(1-p)r+{\frac {p^{n+1}+n(1-p)p^{n}-p}{2-p-p^{n}}}\right].$