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1^o Le premier et le second témoin disent la vérité. Alors une boule blanche a d’abord été extraite de l’urne A, et la probabilité de cet événement est ${\frac {1}{2}}$, puisque la boule extraite au premier tirage a pu sortir également de l’une ou de l’autre urne. Ensuite, la boule extraite mise dans l’urne B a reparu au second tirage : la probabilité de cet événement est ${\frac {1}{1000001}}$ ; la probabilité du fait énoncé est donc ${\frac {1}{2000002}}$. En la multipliant par le produit des probabilités ${\frac {9}{10}}$ et ${\frac {9}{10}}$ que les témoins disent la vérité, on aura ${\frac {81}{200000200}}$ pour la probabilité de l’événement observé, dans cette première hypothèse.

2^o Le premier témoin dit la vérité, et le second ne la dit point, soit qu’il trompe et ne se trompe point, soit qu’il ne trompe point et se trompe. Alors une boule blanche est sortie de l’urne A au premier tirage, et la probabilité de cet événement est ${\frac {1}{2}}$. Ensuite cette boule ayant été mise dans l’urne B, une boule noire en a été extraite : la probabilité de cette extraction est ${\frac {1000000}{1000001}}$ ; on a donc ${\frac {1}{0}}00000{}2000002{}$ pour la probabilité de l’événement composé. En la multipliant par le produit des deux probabilités ${\frac {9}{10}}$ et ${\frac {1}{10}}$ que le premier témoin dit la vérité et que le second ne la dit point, on aura ${\frac {9000000}{200000200}}$ pour la probabilité de l’événement observé, dans la seconde hypothèse.

3^o Le premier témoin ne dit pas la vérité, et le second l’énonce. Alors une boule noire est sortie de l’urne B au premier tirage, et après avoir été mise dans l’urne A, une boule blanche a été extraite de cette urne. La probabilité du premier de ces événements est |, et celle du second est ${\frac {1000000}{1000001}}$ ; la probabilité de l’événement composé est donc ${\frac {1000000}{2000002}}$. En la multipliant par le produit des probabilités ${\frac {1}{10}}$ et ${\frac {9}{10}}$, que le premier témoin ne dit pas la vérité et que le second l’énonce, on aura ${\frac {9000000}{200000200}}$ pour la probabilité de l’événement observé, relative à cette hypothèse.

4^o Enfin aucun des témoins ne dit la vérité. Alors une boule noire a été extraite de l’urne B au premier tirage ; ensuite, ayant été mise dans l’urne A, elle a reparu au second tirage : la probabilité de cet événement composé est ${\frac {1}{2000002}}$. En la multipliant par le produit des probabilités ${\frac {1}{10}}$ et ${\frac {1}{10}}$ que chaque témoin ne dit pas la vérité, on aura