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LIVRE PREMIER.

de $dx',$ et supposons que l’on ait

${\begin{aligned}y'_{x'+dx'}=&y'_{x'}+dx'y''_{x'}+dx'^{2}s_{x'}+\ldots ,\\z_{x'+dx'}=&z_{x'}+dx'z'_{x'}+\ldots ,\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}dy'_{x'}=&dx'y''_{x'}+dx'^{2}s_{x'}+\ldots ,\\dz_{x'}=&dx'z'_{x'}+\ldots ,\end{aligned}}$

partant

$d^{2}y_{x'}=dx'^{2}y''_{x'}+dx'^{3}s_{x'}+\ldots +dx'^{3}z'_{x'}+\ldots .$

L’expression précédente de $'\Delta y_{x'}$ deviendra ainsi

$(o)\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}'\Delta y_{x'}&=\alpha y'_{x'}+{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}y''_{x'}+\ldots \\&+dx'\left\{{\begin{aligned}&\alpha \left(z_{x'}-{\frac {1}{2}}y''_{x'}+\ldots \right)\\+&\alpha ^{2}\left(s_{x'}+\quad z''_{x'}+\ldots \right)\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}\\&+dx'^{2}\ldots ,\end{aligned}}\right.$

$dx'$ étant indéterminé ; les termes indépendants de $dx'$ doivent être égalés séparément entre eux ; on a donc

$\Delta y_{x'}=\alpha y_{x'}+{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}y''_{x'}+\ldots .$

Maintenant $y'_{x'}$ est le coefficient de $dx'$ dans le développement de $y_{x'+dx'}\,;$ c’est ce que l’on désigne dans le Calcul différentiel par ${\frac {dy_{x'}}{dx'}}.$ Pareillement $y''_{x'}$ est le coefficient de $dx'$ dans le développement de $y'_{x'+dx'}\,;$ c’est ce que l’on désigne par ${\frac {dy'_{x'}}{dx'}},$ ou par ${\frac {d^{2}y_{x'}}{dx'^{2}}},$ et ainsi de suite ; en substituant donc, dans l’équation précédente, $y_{x'+\alpha }-y_{x'}$ au lieu de $'\Delta y_{x'},$ on aura le théorème suivant :

$y_{x'+\alpha }=y_{x'}+\alpha {\frac {dy_{x'}}{dx'}}+{\frac {\alpha ^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}y_{x'}}{dx'^{2}}}+{\frac {\alpha ^{3}}{1.2.3}}{\frac {d^{3}y_{x'}}{dx'^{3}}}+\ldots .$

Considéré comme résultat de la comparaison des termes indépendants