Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/729

triangle $\mathrm {ACC'} \,;$ la probabilité des trois erreurs $\alpha ,{\text{ϐ}}$ et $\gamma$ sera proportionnelle à

$c^{-h\alpha ^{2}-h{\text{ϐ}}^{2}-h\gamma ^{2}}\,;$

mais l’observation de ces angles donne la somme $\alpha +{\text{ϐ}}+\gamma$ des trois erreurs ; car la somme des trois angles devant être égale à deux angles droits plus la surface du triangle $\mathrm {ACC'} ,$ si l’on nomme $\mathrm {T}$ l’excès des trois angles observés sur cette quantité, on aura

$\alpha +{\text{ϐ}}+\gamma =\mathrm {T} \,;$

l’exponentielle précédente devient ainsi

$c^{-2h\left({\text{ϐ}}+{\frac {1}{2}}\alpha -{\frac {1}{2}}\mathrm {T} \right)^{2}-{\frac {3h}{2}}\left(\alpha -{\frac {1}{3}}\mathrm {T} \right)^{2}-{\frac {h}{3}}T^{2}},$

ϐ étant susceptible de toutes les valeurs depuis $-\infty$ jusqu’à $+\infty \,;$ il faut multiplier cette exponentielle par $d$ϐ et prendre l’intégrale dans ces limites, ce qui donne une intégrale qui a pour facteur

$c^{-{\frac {3}{2}}h\left(\alpha -{\frac {1}{3}}\mathrm {T} \right)^{2}-{\frac {h}{3}}T^{2}}\,;$

la probabilité de $\alpha$ est donc proportionnelle à ce facteur. La valeur de $\alpha$ la plus probable est évidemment celle qui rend nulle la quantité $\alpha -{\frac {1}{3}}\mathrm {T} \,;$ il faut donc corriger les trois angles de chaque triangle du tiers de l’excès $\mathrm {T}$ de leur somme observée sur deux angles droits plus l’excès sphérique. C’est ce que l’on fait communément.

Nommons ${\overline {\alpha }}$ et ${\overline {\text{ϐ}}}$ les quantités $\alpha -{\frac {1}{3}}\mathrm {T} ,\ {\text{ϐ}}-{\frac {1}{3}}\mathrm {T} \,;$ la probabilité de ${\overline {\alpha }}$ sera donc proportionnelle à

$c^{-{\frac {3}{2}}h\alpha ^{2}}.$

Si l’on diminue l’angle $\mathrm {C}$ de ${\frac {1}{3}}\mathrm {T} ,$ c’est-à-dire si l’on emploie les angles corrigés de chaque triangle, en nommant $\mathrm {{\overline {C}},{\overline {C}}^{(1)}} ,\ldots$ ce que deviennent, par ces corrections, les angles $\mathrm {C,C^{(1)}} ,\ldots$ on aura

${\begin{aligned}\mathrm {A} ^{(2i)}\quad =&\mathrm {A+{\overline {C}}-{\overline {C}}^{(1)}} +{\overline {C}}^{(2)}-\ldots -{\overline {\alpha }}+{\overline {\alpha }}^{(1)}-{\overline {\alpha }}^{(2)}+\ldots -t+t^{(1)}-\ldots \\\mathrm {A} ^{(2i-1)}=&\pi -\ \mathrm {A-{\overline {C}}\quad +{\overline {C}}^{(1)}} -\ldots +{\overline {\alpha }}-{\overline {\alpha }}^{(1)}+\ldots +t-t^{(1)}+\ldots .\end{aligned}}$