triangle
la probabilité des trois erreurs
et
sera proportionnelle à
![{\displaystyle c^{-h\alpha ^{2}-h{\text{ϐ}}^{2}-h\gamma ^{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93a1edab21b9df80a7b8261404a0f796ea93a664)
mais l’observation de ces angles donne la somme
des trois erreurs ; car la somme des trois angles devant être égale à deux angles droits plus la surface du triangle
si l’on nomme
l’excès des trois angles observés sur cette quantité, on aura
![{\displaystyle \alpha +{\text{ϐ}}+\gamma =\mathrm {T} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64c138eccfaabafb4bc5cb53abcac9e8444e1dd8)
l’exponentielle précédente devient ainsi
![{\displaystyle c^{-2h\left({\text{ϐ}}+{\frac {1}{2}}\alpha -{\frac {1}{2}}\mathrm {T} \right)^{2}-{\frac {3h}{2}}\left(\alpha -{\frac {1}{3}}\mathrm {T} \right)^{2}-{\frac {h}{3}}T^{2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a73415baa52c031bb1b009834ab9a314ffb9aff)
ϐ étant susceptible de toutes les valeurs depuis
jusqu’à
il faut multiplier cette exponentielle par
ϐ et prendre l’intégrale dans ces limites, ce qui donne une intégrale qui a pour facteur
![{\displaystyle c^{-{\frac {3}{2}}h\left(\alpha -{\frac {1}{3}}\mathrm {T} \right)^{2}-{\frac {h}{3}}T^{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ab06146e28c726c87e842721bbfa7c254102651)
la probabilité de
est donc proportionnelle à ce facteur. La valeur de
la plus probable est évidemment celle qui rend nulle la quantité
il faut donc corriger les trois angles de chaque triangle du tiers de l’excès
de leur somme observée sur deux angles droits plus l’excès sphérique. C’est ce que l’on fait communément.
Nommons
et
les quantités
la probabilité de
sera donc proportionnelle à
![{\displaystyle c^{-{\frac {3}{2}}h\alpha ^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9eb364a93441663ea90d138558b349bb555edff)
Si l’on diminue l’angle
de
c’est-à-dire si l’on emploie les angles corrigés de chaque triangle, en nommant
ce que deviennent, par ces corrections, les angles
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} ^{(2i)}\quad =&\mathrm {A+{\overline {C}}-{\overline {C}}^{(1)}} +{\overline {C}}^{(2)}-\ldots -{\overline {\alpha }}+{\overline {\alpha }}^{(1)}-{\overline {\alpha }}^{(2)}+\ldots -t+t^{(1)}-\ldots \\\mathrm {A} ^{(2i-1)}=&\pi -\ \mathrm {A-{\overline {C}}\quad +{\overline {C}}^{(1)}} -\ldots +{\overline {\alpha }}-{\overline {\alpha }}^{(1)}+\ldots +t-t^{(1)}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1123e17864bdce3ddd6bb925e03d87289a36e40)