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THÉORIE ANALYTIQUE DES PROBABILITÉS.

on aura donc

$(1+\Delta ')^{i}=p^{i}p^{x}.$

L’équation (11) deviendra ainsi

(13)

$'\Delta ^{n}p^{x}y_{x}=p^{x}\left[p^{i}(1+\Delta y_{x})^{i}-1\right]^{n}\,;$

en faisant $n$ négatif, on aura

(14)

$'\Sigma ^{n}p^{x}y_{x}={\frac {p^{x}}{\left[p^{i}(1+\Delta y_{x})^{i}-1\right]^{n}}}+ax^{n-1}+bx^{n-2}+\ldots ,$

$a,b,\ldots$ étant des constantes arbitraires dues à l’intégration $n$ fois répétée de $p^{x}y_{x}.$ J’ajoute ici ces constantes au second membre de l’équation précédente, parce qu’elles ne sont implicitement renfermées dans son premier terme que lorsque $p=1.$

Si l’on fait dans les deux équations précédentes $x={\frac {x'}{dx'}},\ i={\frac {\alpha }{dx'}},$$p=1+dx'\log h,$ on aura

(15)

$'\Delta ^{n}h^{x'}y_{x'}=h^{x'}\left(h^{\alpha }c^{\alpha {\frac {dy_{x'}}{dx'}}}-1\right)^{n},$

(16)

$'\Sigma ^{n}h^{x'}y_{x'}={\frac {h^{x'}}{\left(h^{\alpha }c^{\alpha {\frac {dy_{x'}}{dx'}}}-1\right)^{n}}}a'x'^{n-1}+b'x'^{n-2}+\ldots .$

Si dans les équations (13) et (14) on suppose $i$ infiniment petit et égal à $dx,\ '\Delta ^{n}p^{x}y_{x}$ se changera dans $d^{n}p^{x}y_{x}$ et $'\Sigma ^{n}p^{x}y_{x}$ se changera dans ${\frac {1}{dx^{n}}}\int ^{n}p^{x}y_{x}dx^{n}\,;$ on aura ensuite

$p^{i}(1+\Delta y_{x})^{i}=c^{dx\log \left[p(1+\Delta y_{x})\right]}\,;$

on aura donc

$\left[p^{i}(1+\Delta y_{x})^{i}-1\right]^{n}=dx^{n}\left\{\log \left[p(1+\Delta y_{x})\right]\right\}^{n},$

et les équations (13) et (14) deviendront

(17)

${\frac {d^{n}p^{x}y_{x}}{dx^{n}}}=p^{x}\left\{\log \left[p(1+\Delta y_{x})\right]\right\}^{n},$

(18)

$\int ^{n}p^{x}y_{x}={\frac {p^{x}}{\left\{\log \left[p(1+\Delta y_{x})\right]\right\}^{n}}}+ax^{n-1}+bx^{n+2}+\ldots .$