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et celle du dénominateur étant prise depuis $u=0$ jusqu’à $u=\infty .$ Soit $u={\frac {1-s}{s}}\,;$ cette valeur de $z$ deviendra

$z={\frac {\int s^{n}ds(1-s)^{n-1}}{\int s^{n}ds(1-s)^{n-1}}},$

l’intégrale du numérateur étant prise depuis $s=0$ jusqu’à $s=x,$ et celle du dénominateur étant prise depuis $s=0$ jusqu’à $s=1.$ De là on tire

${\frac {dz}{zdx}}={\frac {x^{n}(1-x)^{n-1}}{\int s^{n}ds(1-s)^{n-1}}},$

l’intégrale du dénominateur étant prise depuis $s=0$ jusqu’à $s=x.$ On aura ensuite

${\frac {d^{2}z}{zdx^{2}}}={\frac {dz}{zdx}}{\frac {n-(2n-1)x}{x(1-x)}}.$

En changeant $x$ en $a$ dans ces expressions, on aura celles de $\mathrm {Z} ,$${\frac {d\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} dx}},\ {\frac {d^{2}\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} dx^{2}}}.$

Pour déterminer $a,$ nous observerons que la condition du maximum de $x^{p}dxz^{i}(1-x)^{q}$ donne

$0={\frac {p}{a}}-{\frac {q}{1-a}}+i{\frac {d\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} dx}},$

d’où l’on tire, en substituant pour ${\frac {d\mathrm {Z} }{\mathrm {Z} dx}}$ sa valeur précédente,

$a={\frac {p}{p+q}}+{\frac {ia^{n+1}(1-a)^{n}}{(p+q)\int s^{n}ds(1-s)^{n-1}}},$

l’intégrale du dénominateur étant prise depuis $s=0$ jusqu’à $s=a.$ Pour conclure $a$ de cette équation, nous observerons que la valeur de $s$ qui rend $s^{n}ds(1-s)^{n-1}$ un maximum est à très peu près ${\frac {1}{2}},$ et par conséquent moindre que ${\frac {p}{p+q}},$ qui lui-même est plus petit que $a.$ Ainsi, $n$ étant supposé un grand nombre, on peut, sans erreur sensible, étendre l’intégrale de cette expression de $a,$ depuis $s=0$ jusqu’à $s=1,$ le