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on aura

$(a)\qquad y_{s}={\frac {1}{\left(1-z^{2}\right)^{s+{\frac {1}{2}}}}}$

$\times \left\{{\begin{aligned}z^{s}&+{\frac {1}{2}}{\frac {s(s-1)}{1.2}}z^{s-2}+{\frac {1.3}{2.4}}{\frac {s(s-1)(s-2)(s-3)}{1.2.3.4}}z^{s-4}\\&+{\frac {1.3.5}{2.4.6}}{\frac {s(s-1)(s-2)(s-3)(s-4)(s-5)}{1.2.3.4.5.6}}z^{s-6}+\ldots \end{aligned}}\right\}$

Cette expression est fort composée, lorsque $s$ est un grand nombre ; mais alors on peut obtenir sa valeur d’une manière fort approchée, en appliquant à l’expression de $y_{s},$ sous forme d’intégrale définie, les méthodes exposées ci-dessus. La fonction sous le signe intégral ayant deux maxima, l’un à l’origine de l’intégrale et l’autre à son extrémité, nous la décomposerons dans les deux suivantes

$y_{s}={\frac {1}{\pi \left(1-z^{2}\right)^{s+{\frac {1}{2}}}}}\left[\int d\varpi (z+\cos \varpi )^{s}+(-1)^{s}\int d\varpi (\cos \varpi -z)^{s}\right],$

la première intégrale étant prise depuis $\varpi$ nul jusqu’à $\varpi$ égal à l’angle dont le cosinus est $-z,$ et la seconde intégrale étant prise depuis $\varpi$ nul jusqu’à $\varpi$ égal à l’angle dont $z$ est le cosinus. Soit ${\frac {1}{s}}=\alpha ,$ et faisons

$(z+\cos \varpi )^{s}=(1+z)^{s}c^{-t^{2}}\,;$

on aura, en prenant les logarithmes et réduisant $cosis\varpi$ en série,

$\log \left[1-{\frac {\varpi ^{2}}{2(1+z)}}+{\frac {\varpi ^{4}}{24(1+z)}}-\ldots \right]=-\alpha t^{2},$

d’où il est facile de conclure

$\varpi =\alpha ^{\frac {1}{2}}t{\sqrt {2(1+z)}}\left[1-{\frac {\alpha (2-z)}{12}}t^{2}+\ldots \right]\,;$

on aura ainsi, en observant que l’intégrale doit être prise depuis $t$ nul jusqu’à $t$ infini,

$\int d\varpi (z+\cos \varpi )^{s}={\frac {\alpha ^{\frac {1}{2}}{\sqrt {2\pi }}}{2}}(1+z)^{s+{\frac {1}{2}}}\left[1-{\frac {\alpha (2-z)}{8}}+\ldots \right].$