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ou

$\mathrm {Q} ={\frac {2\sin(a+b)\varpi }{\sin \varpi (\cos \varpi )^{a+b-1}}}.$

Les racines de l’équation $\mathrm {Q} =0$ sont donc représentées par

$\varpi ={\frac {(r+1)\pi }{a+b}},$

$r$ étant un nombre entier positif qui peut s’étendre depuis $r=0$ jusqu’à $r=a+b-2.$ Lorsque $a+b$ est un nombre pair, ${\frac {1}{2}}\pi$ est une des valeurs de $\varpi \,;$ il faut l’exclure, parce que, $\cos \varpi$ devenant nul alors, cette valeur de $\varpi$ ne rend pas $\mathrm {Q}$ nul. Dans ce cas, l’équation $\mathrm {Q} =0$ n’a que $a+b-2$ racines ; mais, comme le terme dépendant de la valeur $\varpi ={\frac {1}{2}}\pi$ est multiplié dans l’expression de $y_{a,x'}$ par une puissance positive de $\cos {\frac {(r+1)\pi }{a+b}},$ on peut conserver la valeur de $r$ qui donne $\varpi ={\frac {1}{2}}\pi ,$ puisque le terme qui lui correspond dans l’expression de $y_{a,x'}$ disparaît.

Maintenant on a

${\frac {d\mathrm {Q} }{dt'}}={\frac {d\mathrm {Q} }{d\varpi }}{\frac {d\varpi }{dt}},$

d’où l’on tire, en vertu de l’équation $\sin(a+b)\varpi =0,$

${\frac {d\mathrm {Q} }{dt'}}={\frac {4(a+b){\sqrt {pq}}\cos(r+1)\pi }{\sin ^{2}\varpi (\cos \varpi )^{a+b-3}}}={\frac {4(a+b){\sqrt {pq}}(-1)^{r+1}}{\sin ^{2}\varpi (\cos \varpi )^{a+b-3}}}.$

Le terme

${\frac {-\mathrm {P} }{\left(1-t'^{2}\right)t'^{2i+1}{\cfrac {d\mathrm {Q} }{dt'}}}},$

en observant que

$\mathrm {P} ={\frac {2\sin a\varpi }{\sin \varpi (\cos \varpi )^{a-1}}},$

devient ainsi

$(h)\ {\frac {(-1)^{r+1}2^{2i+2}(pq)^{i+1}\sin {\cfrac {(r+1)\pi }{a+b}}\sin {\cfrac {(r+1)a\pi }{a+b}}\left[\cos {\cfrac {(r+1)\pi }{a+b}}\right]^{b+2i+1}}{(a+b)\left[p^{2}-2pq\cos {\cfrac {2(r+1)\pi }{a+b}}+q^{2}\right]}}\,;$