Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 7.djvu/656

et la probabilité de sa sortie, résultante de l’accord des témoignages, est

${\frac {pp'}{pp'+(1-p)(1-p')}}.$

C’est généralement la probabilité d’un fait attesté par deux témoins, lorsque l’existence du fait est aussi probable que sa non-existence. Si les deux témoins sont également véridiques, ce qui donne $p'=p,$ cette probabilité devient

${\frac {p^{2}}{p^{2}+(1-p)^{2}}}.$

En général, si un nombre $r$ de témoins également véridiques affirme l’existence d’un fait de ce genre, sa probabilité résultante des témoignages sera

${\frac {p^{r}}{p^{r}+(1-p)^{r}}}.$

Mais cette formule n’est applicable qu’au cas où l’existence du fait et sa non-existence sont en elles-mêmes également probables.

Si le nombre $n$ des numéros de l’urne est très grand, la formule $(o)$ devient à très peu près l’unité, et par conséquent la sortie du n^o $i$ est extrêmement probable. Cela tient à ce qu’il est très peu vraisemblable que les témoins, voulant tromper, s’accordent à énoncer le même numéro, lorsque l’urne en contient un grand nombre. Le simple bon sens indique ce résultat du calcul ; mais on voit en même temps que la probabilité de la sortie du n^o $i$ est beaucoup diminuée, si les deux témoins, cherchant à tromper, ont pu s’entendre.

Supposons maintenant que le premier témoin affirme la sortie du n^o $i,$ et que le second témoin affirme la sortie du n^o $i'.$ On peut former alors les trois hypothèses suivantes : le premier témoin dit la vérité et le second trompe ; dans ce cas le n^o $i$ est sorti, et la probabilité de cet événement est ${\frac {1}{n}}\,;$ de plus, le second témoin, qui trompe, doit choisir parmi les autres numéros non sortis le n^o $i',$ et la probabilité de ce choix est ${\frac {1}{n-1}},$ Le produit de ces deux probabilités par le produit des