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En divisant la fonction génératrice précédente par $1-t,$ on aura qi[1-qt]ti

${\frac {q^{i}(1-qt)t^{i}}{(1-t)^{2}\left[1+{\cfrac {(1-q)q^{i}t^{i+1}}{1-t}}\right]}}$

pour la fonction génératrice de la probabilité que l’événement composé aura lieu avant ou au coup $x.$

En développant cette fonction, on aura, pour le coefficient de $t^{x+i},$ la série

${\begin{aligned}&q^{i}\left[(1-q)x+1\right]-(1-q)q^{2i}{\frac {x-i}{1.2}}\left[(1-q)(x-i-1)+2\right]\\&+(1-q)^{2}q^{3i}{\frac {(x-2i)(x-2i-1)}{1.2.3}}\left[(1-q)(x-2i-2)+3\right]\\&-(1-q)^{3}q^{4i}{\frac {(x-3i)(x-3i-1)(x-3i-2)}{1.2.3.4}}\left[(1-q)(x-3i-3)+4\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

la série étant continuée jusqu’à ce que l’on arrive à des facteurs négatifs. C’est l’expression de la probabilité que l’événement composé aura lieu au coup $x+i$ ou avant ce coup.

Supposons encore que deux joueurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$, dont les adresses respectives pour gagner un coup sont $q$ et $1-q,$ jouent à cette condition, que celui des deux qui aura le premier vaincu $i$ fois de suite son adversaire gagnera la partie ; on demande les probabilités respectives des deux joueurs pour gagner la partie précisément au coup $x.$

Soit $y_{x}$ la probabilité de $\mathrm {A}$, et $y'_{x}$ celle de $\mathrm {B} .$ Le joueur $\mathrm {A}$ ne peut gagner la partie au coup $x,$ qu’autant qu’il commence ou recommence à gagner $\mathrm {B}$ au coup $x-i+1,$ et qu’il continue de le gagner les $i-1$ coups suivants. Or, avant de commencer le coup $x-i+1,\ \mathrm {B}$ aura déjà gagné $\mathrm {A}$ ou une fois, ou deux fois, …, ou $i-1$ fois. Dans le premier cas, si l’on nomme $\mathrm {P}$ la probabilité de ce cas, $\mathrm {P} (1-q)^{i-1}$ sera la probabilité $y'_{x-1}$ de $\mathrm {B}$ pour gagner la partie au coup $x-1,$ ce qui donne

$\mathrm {P} ={\frac {y'_{x-1}}{(1-q)^{i-1}}}.$