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les intégrales relatives à ${\underline {\alpha }}$ et ${\underline {\text{ϐ}}}$ étant prises dans leurs limites infinies. Développons dans une série, ordonnée par rapport aux puissances de $\omega ,$ la fonction comprise dans la parenthèse. Le logarithme de $\iint d{\underline {\alpha }}d{\underline {\text{ϐ}}}\psi \left({\underline {\alpha }},{\underline {\text{ϐ}}}\right)\cos \left(p{\underline {\alpha }}+q{\underline {\text{ϐ}}}\right)\omega$ est égal à

$\log \iint d{\underline {\alpha }}\,d{\underline {\text{ϐ}}}\psi \left({\underline {\alpha }},{\underline {\text{ϐ}}}\right)-{\frac {{\cfrac {\omega ^{2}}{2}}\iint d{\underline {\alpha }}\,d{\underline {\text{ϐ}}}\psi \left({\underline {\alpha }},{\underline {\text{ϐ}}}\right)\left(p{\underline {\alpha }}+q{\underline {\text{ϐ}}}\right)^{2}}{\iint d{\underline {\alpha }}\,d{\underline {\text{ϐ}}}\psi \left({\underline {\alpha }},{\underline {\text{ϐ}}}\right)}}-\ldots .$

Or on a

$\iint d{\underline {\alpha }}\,d{\underline {\text{ϐ}}}\psi \left({\underline {\alpha }},{\underline {\text{ϐ}}}\right)=\iiint d{\underline {\alpha }}\,d{\underline {\text{ϐ}}}d\mathrm {T} \times$

$\varphi \left[{\underline {\alpha }}+\left(i+{\frac {1}{3}}\right)\mathrm {T} \right]\varphi \left[{\underline {\text{ϐ}}}+\left(i_{1}+{\frac {1}{3}}\right)\mathrm {T} \right]\varphi \left[\left({\frac {1}{3}}-i-i_{1}\right)\mathrm {T} -{\underline {\alpha }}-{\underline {\text{ϐ}}}\right].$

Les intégrales étant prises dans leurs limites infinies, il est aisé de voir, par la théorie connue des intégrales multiples, que le second membre de cette équation est égal à

$\iiint d\alpha d{\text{ϐ}}d\mathrm {T} '\varphi (\alpha )\varphi ({\text{ϐ}})\varphi (\mathrm {T} '),$

$\mathrm {T} '$ étant égal à $\mathrm {T} -\alpha -{\text{ϐ}}\,;$ il est donc égal à $k^{3}.$

On a ensuite

$(u)\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\iint &d{\underline {\alpha }}\,d{\underline {\text{ϐ}}}\psi \left({\underline {\alpha }},{\underline {\text{ϐ}}}\right)\left(p{\underline {\alpha }}+q{\underline {\text{ϐ}}}\right)^{2}\\&=\iiint d\alpha d{\text{ϐ}}d\mathrm {T} '\varphi (\alpha )\varphi ({\text{ϐ}})\varphi (\mathrm {T} ')\left(p{\underline {\alpha }}+q{\underline {\text{ϐ}}}\right)^{2},\end{aligned}}\right.$

en substituant pour ${\underline {\alpha }}$ et ${\underline {\text{ϐ}}}$ leurs valeurs en $\alpha ,{\text{ϐ}}$ et $\mathrm {T} '$ dans la quantité $\left(p{\underline {\alpha }}+q{\underline {\text{ϐ}}}\right)^{2}.$ Or il suit de ce qui précède que l’on a

${\begin{aligned}{\underline {\alpha }}=&\left({\frac {2}{3}}-i\right)\alpha -\left(i+{\frac {1}{3}}\right){\text{ϐ}}-\left(i+{\frac {1}{3}}\right)\mathrm {T} ',\\{\underline {\text{ϐ}}}=&\left({\frac {2}{3}}-i\right){\text{ϐ}}-\left(i_{1}+{\frac {1}{3}}\right)\alpha -\left(i_{1}+{\frac {1}{3}}\right)\mathrm {T} '.\end{aligned}}$

En substituant ces valeurs dans la quantité $\left(p{\underline {\alpha }}+q{\underline {\text{ϐ}}}\right)^{2},$ on pourra, dans son développement, négliger les termes dépendants des produits $\alpha {\text{ϐ}},\alpha \mathrm {T} '$ et ${\text{ϐ}}\mathrm {T} ',$ car la triple intégrale

$(u)\qquad \qquad \iiint d\alpha d{\text{ϐ}}d\mathrm {T} '\varphi (\alpha )\varphi ({\text{ϐ}})\varphi (\mathrm {T} ')\left(p{\underline {\alpha }}+q{\underline {\text{ϐ}}}\right)^{2}$

étant prise dans ses limites infinies, et la fonction $\varphi (\alpha )$ étant supposée