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$s'$ étant un nombre entier ; ainsi

$s^{s+{\frac {1}{2}}}=\left(s'+{\frac {m}{n}}\right)^{s'+{\frac {m}{n}}+{\frac {1}{2}}}=s'^{s'+{\frac {m}{n}}+{\frac {1}{2}}}c^{\left(s'+{\frac {m}{n}}+{\frac {1}{2}}\right)\log \left(1+{\frac {m}{ns'}}\right)}\,;$

or on a

${\begin{aligned}\left(s'+{\frac {m}{n}}+{\frac {1}{2}}\right)\log \left(1+{\frac {m}{ns'}}\right)=&\left(s'+{\frac {m}{n}}+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {m}{ns'}}-{\frac {m^{2}}{2n^{2}s'^{2}}}+\ldots \right)\\&{\frac {m}{n}}+{\frac {m^{2}+mn}{2n^{2}s'}}+\ldots \end{aligned}}$

On a d’ailleurs, en faisant $x=t^{n}.$

$\int x^{\frac {m}{n}}dxc^{-x}={\frac {m}{n}}\int x^{{\frac {m}{n}}-1}dxc^{-x}=m\int t^{m-1}dtc^{-t^{n}},$

l’intégrale relative à $t$ étant prise depuis $t=0$ jusqu’à $t$ infini. En substituant ces valeurs dans la formule $(q'),$ elle donnera

$(q'')\quad \left\{{\begin{aligned}&m(m+n)(m+2n)\ldots (m+s'n)\\&={\frac {n^{s'}s'^{s'+{\frac {m}{n}}+{\frac {1}{2}}}c^{-s'}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\cfrac {n^{2}+6mn+6m^{2}}{12n^{2}s'}}+\ldots \right)}{\int t^{m-1}dtc^{-t^{n}}}}\,;\end{aligned}}\right\}$

en sorte que la valeur approchée du produit des termes de la progression arithmétique $m,m+n,m+2n,\ldots$ dépend des trois transcendantes $c,\pi$ et $\int t^{m-1}dtc^{-t^{n}}.$

Si dans cette équation on fait, pour plus de simplicité, $n=1,$ ce qui change $m$ en $\mu ,$ et si l’on observe que $\int t^{\mu -1}dtc^{-t}={\frac {1}{\mu }}\int t^{\mu }dtc^{-t},$ on aura

$(1+\mu )(2+\mu )\ldots (s'+\mu )=s'^{s'+\mu +{\frac {1}{2}}}c^{-s'}{\sqrt {2\pi }}{\frac {1+{\cfrac {1+6\mu +6\mu ^{2}}{12s'}}+\ldots }{\int t^{\mu }dtc^{-t}}}.$

En changeant $\mu$ dans $-\mu ,$ on aura

$(1-\mu )(2-\mu )\ldots (s'-\mu )=s'^{s'-\mu +{\frac {1}{2}}}c^{-s'}{\sqrt {2\pi }}{\frac {1+{\cfrac {1-6\mu +6\mu ^{2}}{12s'}}+\ldots }{\int t^{-\mu }dtc^{-t}}}.$