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$\mathrm {S,S',S''} ,\ldots$ étant des fonctions de $s$ seul, et $z,z',z'',\ldots$ étant des fonctions rationnelles et entières de la même variable, et de $x,\varphi ,\varphi ',$$\varphi '',\ldots ,$ dans lesquelles $\varphi ,\varphi '\ldots$ sont sous une forme linéaire.

Considérons d’abord l’équation

$\mathrm {S} =\int x^{s}zdx,$

on a

$z=\mathrm {Z} +s\Delta \mathrm {Z} +{\frac {s(s-1)}{1.2}}\Delta ^{2}\mathrm {Z} +{\frac {s(s-1)(s-2)}{1.2.3}}\Delta ^{3}\mathrm {Z} +\ldots ,$

la caractéristique $\Delta$ des différences finies étant relative à la variable $s$, et $\mathrm {Z} ,\Delta \mathrm {Z} ,\ldots$ étant ce que deviennent $z,\Delta z,\ldots$ lorsqu’on y suppose $s=0.$ On aura donc

$\mathrm {S} =\int x^{s}dx\left[\mathrm {Z} +s\Delta \mathrm {Z} +{\frac {s(s-1)}{1.2}}\Delta ^{2}\mathrm {Z} +\ldots \right].$

Si l’on fait $x^{s}=\delta y,$ on aura

$sx^{s}=x{\frac {d\delta y}{dx}},\qquad s(s-1)x^{s}=x^{2}{\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}},\qquad \ldots \,;$

l’équation précédente devient ainsi

$\mathrm {S} =\int dx\left(\mathrm {Z} \delta y+x\Delta \mathrm {Z} {\frac {d\delta y}{dx}}+{\frac {x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} }{1.2}}{\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}}+\ldots \right),$

d’où l’on tire, en intégrant par parties comme dans le numéro précédent, les deux équations suivantes

$(a)\qquad \qquad \quad \qquad \ 0=\mathrm {Z} -{\frac {d(x\Delta \mathrm {Z} )}{dx}}+{\frac {d^{2}(x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} )}{1.2dx^{2}}}-\ldots ,$

$(b)\qquad \qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}\mathrm {S} =\mathrm {C} &+\delta y\left[x\Delta \mathrm {Z} -{\frac {d(x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} )}{1.2dx}}+\ldots \right]\\&+{\frac {d\delta y}{dx}}\left({\frac {x^{2}\Delta ^{2}\mathrm {Z} }{1.2}}-\ldots \right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$

$\mathrm {C}$ étant une constante arbitraire. L’équation

$\mathrm {S} '=\int x^{s}z'dx,$