Livre:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu
| Titre | Œuvres complètes de Laplace |
|---|---|
| Volume | 1 |
| Auteur | Pierre-Simon Laplace  |
| Maison d’édition | Gauthier-Villars |
| Lieu d’édition | Paris |
| Année d’édition | 1878 |
| Bibliothèque | Internet Archive |
| Fac-similés | djvu |
| Avancement | À valider |
| Série | 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 • 10 • 11 • 12 • 13 • 14 |
Pages
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TABLE DES MATIÈRES
CONTENUES DANS LE PREMIER VOLUME.
Pages
Avertissement
Notice sur le Général Marquis de Laplace
TRAITÉ DE MÉCANIQUE CÉLESTE
Tome 1/5
Plan de l’Ouvrage
PREMIÈRE PARTIE.
LIVRE I.
DES LOIS GÉNÉRALES DE L’ÉQUILIBRE ET DU MOUVEMENT.
Chapitre I. — De l’équilibre et de la composition des forces qui agissent sur un point matériel
Équation de l’équilibre d’un point sollicité par un nombre quelconque de forces agissantes dans des directions quelconques. Méthode pour déterminer, lorsque le point n’est pas libre, la pression qu’il exerce sur la surface ou sur la courbe à laquelle il est assujetti. Théorie des moments. No 3
Chapitre II. — Du mouvement d’un point matériel
De la loi d’inertie, du mouvement uniforme et de la vitesse. No 4
Équations du mouvement d’un point sollicité par des forces quelconques. No 7
Expression générale du carré de sa vitesse. Il décrit la courbe dans laquelle l’intégrale du produit de sa vitesse par l’élément de cette courbe est un minimum. No 8
Méthode pour déterminer la pression qu’un point mû sur une surface ou sur une courbe exercé sur elle. De la force centrifuge. No 9
Application des principes précédents au mouvement d’un point libre animé par la pesanteur, dans un milieu résistant. Recherche de la loi de la résistance nécessaire pour que le mobile décrive une courbe donnée. Examen particulier du cas où la résistance est nulle. No 10
Application des mêmes principes au mouvement d’un corps pesant dans une surface sphérique. Détermination de la durée des oscillations du mobile. Les oscillations très-petites sont isochrones. No 11
Recherche de la courbe sur laquelle l’isochronisme a lieu rigoureusement dans un milieu résistant, et particulièrement lorsque la résistance est proportionnelle aux deux premières puissances de la vitesse. No 12
Chapitre III. — De l’équilibre d’un système de corps
Conditions de l’équilibre de deux systèmes de points qui se choquent avec des vitesses directement contraires. Ce que l’on entend par la quantité de mouvement d’un corps et par points matériels semblables. No 13
De l’action réciproque des points matériels. La réaction est toujours égale et contraire à l’action. Équation de l’équilibre d’un système de corps, d’où résulte le principe des vitesses virtuelles. Méthode pour déterminer les pressions exercées par les corps sur les surfaces ou sur les courbes auxquelles ils sont assujettis. No 14
Application de ces principes au cas où tous les points du système sont invariablement unis ensemble ; conditions de l’équilibre pour un pareil système. Du centre de gravité. Méthode pour déterminer sa position : 1o par rapport à trois plans fixes et rectangulaires ; 2o par rapport à trois points donnés dans l’espace. No 15
Conditions de l’équilibre d’un corps solide de figure quelconque. No 16
Chapitre IV. — De l’équilibre des fluides
Équations générales de cet équilibre. Application à l’équilibre d’une masse fluide homogène dont la surface extérieure est libre, et qui recouvre un noyau solide fixe, de figure quelconque. No 17
Chapitre V. — Principes généraux du mouvement d’un système de corps
Équation générale de ce mouvement. No 18
Développement des principes qu’elle renferme. Du principe des forces vives. Il ne subsiste que dans le cas où les mouvements des corps changent par des nuances insensibles. Moyen d’évaluer l’altération que la force vive éprouve dans les variations brusques des mouvements du système. No 19
Du principe de la conservation du mouvement du centre de gravité. Il subsiste dans le cas même où les corps du système exercent les uns sur les autres une action finie dans un instant. No 20
Du principe de la conservation des aires. Il subsiste, comme le précédent, dans le cas d’un changement brusque dans le mouvement du système. Détermination du système de coordonnées dans lequel la somme des aires décrites par les projections des rayons vecteurs est nulle sur deux des plans rectangulaires formes par les axes de ces coordonnées. Cette somme est un maximum sur le troisième plan rectangulaire ; elle est nulle sur tout autre plan perpendiculaire à celui-ci. No 21
Les principes de la conservation des forces vives et des aires ont encore lieu, en supposant à l’origine des coordonnées un mouvement rectiligne et uniforme. Dans ce cas, le plan passant constamment par ce point, et sur lequel la somme des aires décrites par les projections des rayons est un maximum, reste toujours parallèle à lui-même. Les principes des forces vives et des aires peuvent se réduire à des relations entre les coordonnées des distances mutuelles des corps du système. Les plans passant par chacun des corps du système, parallèlement au plan invariable mené par le centre de gravité, jouissent de propriétés analogues. No 22
Principe de la moindre action. Combiné avec celui des forces vives, il donne l’équation générale du mouvement. No 23
Chapitre VI. — Des lois du mouvement d’un système de corps, dans toutes les relations mathématiquement possibles entre la force et la vitesse
Principes nouveaux qui, dans ce cas général, correspondent à ceux de la conservation des forces vives, des aires, du mouvement du centre de gravité et de la moindre action. Dans un système qui n’éprouve point d’actions étrangères : 1o la somme des forces finies du système, décomposées parallèlement à un axe quelconque, est constante ; 2o la somme des forces finies pour faire tourner le système autour d’un axe est constante ; 3o la somme des intégrales des forces finies du système, multipliées respectivement par les éléments de leurs directions, est un minimum. Ces trois sommes sont nulles dans l’état d’équilibre. No 24
Chapitre VII. — Des mouvements d’un corps solide de figure quelconque
Des axes principaux. En général, un corps n’a qu’un système d’axes principaux. Des moments d’inertie. Le plus grand et le plus petit de ces moments appartiennent aux axes principaux, et le plus petit de tous les moments d’inertie a lieu par rapport à l’un des trois axes principaux qui passent par le centre de gravité. Cas où le solide a une infinité d’axes principaux. No 27
Recherche de l’axe instantané de rotation du corps : les quantités qui déterminent sa position par rapport aux axes principaux donnent en même temps la vitesse de rotation. No 28
Équations qui déterminent, en fonction du temps, cette position et celle des axes principaux. Application au cas où le mouvement de rotation est dû à une impulsion qui ne passe point par le centre de gravité. Formule pour déterminer la distance de ce centre à la direction de l’impulsion primitive. Exemple tiré des planètes, et en particulier de la Terre. No 29
Des oscillations d’un corps qui tourne à fort peu près autour d’un des axes principaux. Le mouvement est stable autour des axes principaux dont les moments d’inertie sont le plus grand et le plus petit ; il ne l’est pas autour du troisième axe principal. No 30
Du mouvement d’un corps solide autour d’un axe fixe. Détermination du pendule simple qui oscille dans le même temps que ce corps. No 31
Chapitre VIII. — Du mouvement des fluides
Équations du mouvement des fluides ; condition relative à leur continuité. No 32
Transformation de ces équations ; elles sont intégrables lorsque, la densité étant une fonction quelconque de la pression, la somme des vitesses parallèles à trois axes rectangulaires, et multipliées chacune par l’élément de sa direction, est une variation exacte. On prouve que cette condition sera remplie à tous les instants, si elle l’est dans un seul. No 33
Application des principes précédents au mouvement d’une masse fluide homogène, douée d’un mouvement uniforme de rotation autour d’un des axes des coordonnées. No 34
Détermination des oscillations très-petites d’une masse fluide homogène, recouvrant un sphéroïde doué d’un mouvement de rotation. No 35
Application au mouvement de la mer, en la supposant dérangée de l’état d’équilibre par l’action de forces très-petites. No 36
De l’atmosphère terrestre considérée d’abord dans l’état d’équilibre. Des oscillations qu’elle éprouve dans l’état de mouvement, en n’ayant égard qu’aux causes régulières qui l’agitent. Des variations que ces mouvements produisent dans les hauteurs du baromètre. No 37
LIVRE II.
DE LA LOI DE LA PESANTEUR UNIVERSELLE ET DU MOUVEMENT DES CENTRES DE GRAVITÉ DES CORPS CÉLESTES.
Chapitre I. — De la loi de la pesanteur universelle, tirée des phénomènes
Les aires décrites par les rayons vecteurs des planètes, dans leur mouvement autour du Soleil, étant proportionnelles au temps, la force qui sollicite les planètes est dirigée vers le centre du Soleil, et réciproquement. No 1
Les orbes des planètes et des comètes étant des sections coniques, la force qui les anime est en raison inverse du carré de la distance du centre de ces astres à celui du Soleil. Réciproquement, si la force suit cette raison, la courbe décrite est une section conique. No 2
Les carrés des temps des révolutions des planètes étant proportionnels aux cubes des grands axes de leurs orbites, ou, ce qui revient au même, les aires décrites en temps égal, dans différentes orbites, étant proportionnelles aux racines carrées de leurs paramètres, la force qui sollicite les planètes et les comètes serait la même pour tous ces corps placés à égale distance du Soleil. No 3
Le mouvement des satellites autour de leurs planètes présentant à peu près les mêmes phénomènes que celui des planètes autour du Soleil, les satellites sont sollicités vers leurs planètes et vers le Soleil par des forces réciproques au carré des distances. No 4
Détermination de la parallaxe lunaire, d’après les expériences sur la pesanteur, et dans l’hypothèse de la gravitation en raison inverse du carré des distances. Le résultat obtenu par cette voie se trouvant parfaitement conforme aux observations, la force attractive de la Terre est de la même nature que celle de tous les corps célestes. No 5
Réflexions générales sur ce qui précède : elles conduisent à ce principe, savoir, que toutes les molécules de la matière s’attirent en raison directe des masses, et en raison inverse du carré des distances. No 6
Chapitre II. — Des équations différentielles du mouvement d’un système de corps soumis à leur attraction mutuelle
Équations différentielles de ce mouvement. No 7
Développement des intégrales que l’on a pu jusqu’à présent en obtenir, et qui résultent des principes de la conservation du mouvement du centre de gravité, des aires et des forces vives. No 8
Équations différentielles du mouvement d’un système de corps soumis à leur attraction mutuelle, autour de l’un d’eux, considéré comme le centre de leurs mouvements ; développement des intégrales rigoureuses que l’on sait en déduire. No 9
Le mouvement du centre de gravité du système d’une planète et de ses satellites autour du Soleil est à très-peu près le même que si tous les corps de ce système étaient réunis à ce point, et le système agit sur les autres corps à très-peu près comme dans cette hypothèse. No 10
Recherches sur l’attraction des sphéroïdes : cette attraction est donnée par les différences partielles de la fonction qui exprime la somme des molécules, divisées par leurs distances au point attiré. Équation fondamentale aux différences partielles à laquelle cette fonction satisfait. Diverses transformations de cette équation. No 11
Application au cas où le corps attirant est une couche sphérique : il en résulte qu’un point placé dans l’intérieur de la couche est également attiré de toutes parts, et qu’un point placé hors de la couche est attiré par elle comme si sa masse était réunie à son centre. Ce résultat a encore lieu pour les globes formés de couches concentriques d’une densité variable du centre à la circonférence. Recherche des lois d’attraction dans lesquelles ces propriétés subsistent. Dans le nombre infini des lois qui rendent l’attraction très-petite à de grandes distances, celle de la nature est la seule dans laquelle les sphères agissent sur un point extérieur, comme si leurs masses étaient réunies à leurs centres. Cette loi est aussi la seule dans laquelle l’action d’une couche sphérique sur un point placé dans son intérieur est nulle. No 12
Application des formules du no 11 au cas où le corps attirant est un cylindre dont la base est une courbe rentrante, et dont la longueur est infinie. Lorsque cette courbe est un cercle, l’action du cylindre sur un point extérieur est réciproque à la distance de ce point à l’axe du cylindre. Un point placé dans l’intérieur d’une couche cylindrique circulaire d’une épaisseur constante est également attiré de toutes parts. No 13
Équation de condition relative au mouvement d’un corps. No 14
Diverses transformations des équations différentielles du mouvement d’un système de corps soumis à leur attraction mutuelle. No 15
Chapitre III. — Première approximation des mouvements célestes, ou théorie du mouvement elliptique
Intégration des équations différentielles qui déterminent le mouvement relatif de deux corps qui s’attirent en raison des masses et réciproquement au carré des distances. La courbe qu’ils décrivent dans ce mouvement est une section conique. Expression du temps en série convergente de sinus et de cosinus du mouvement vrai. Si l’on néglige les masses des planètes relativement à celle du Soleil, les carrés des temps des révolutions sont comme les cubes des grands axes des orbites. Cette loi s’étend au mouvement des satellites autour de leur planète. No 16
Seconde méthode pour l’intégration des équations différentielles du numéro précédent. No 17
Équations finies du mouvement elliptique : expressions de l’anomalie moyenne, du rayon vecteur et de l’anomalie vraie en fonctions de l’anomalie excentrique. No 20
Méthode générale pour la réduction des fonctions en séries : théorèmes qui en résultent. No 21
Application de ces théorèmes au mouvement elliptique. Expressions de l’anomalie excentrique, de l’anomalie vraie et du rayon vecteur des planètes en séries convergentes de sinus et de cosinus de l’anomalie moyenne. Expressions en séries convergentes de la longitude, de la latitude et de la projection du rayon vecteur sur un plan fixe, peu incliné à celui de l’orbite. No 22
Expressions convergentes du rayon vecteur et du temps, en fonctions de l’anomalie vraie, dans une orbite fort excentrique. Si l’orbite est parabolique, l’équation entre le temps et l’anomalie vraie est une équation de troisième degré, que l’on résout au moyen de la Table du mouvement des comètes. Correction à faire à l’anomalie vraie calculée dans la parabole, pour avoir l’anomalie vraie, correspondante au même temps, dans une ellipse fort excentrique. No 23
Théorie du mouvement hyperbolique. No 24
Détermination du rapport des masses des planètes accompagnées de satellites à celle du Soleil. No 25
Chapitre IV. — Détermination des éléments du mouvement elliptique
Formules qui donnent ces éléments, lorsque les circonstances du mouvement primitif sont connues. Expression de la vitesse, indépendante de l’excentricité de l’orbite. Dans la parabole, la vitesse est réciproque à la racine carrée du rayon vecteur. No 26
Recherche de la relation qui existe entre le grand axe de l’orbite, la corde de l’arc décrit, le temps employé à le décrire et la somme des rayons vecteurs extrêmes. No 27
Moyen le plus propre pour déterminer, par les observations, les éléments des orbites des comètes. No 28
Formules pour avoir, d’après un nombre quelconque d’observations voisines, la longitude et la latitude géocentriques d’une comète à un instant donné, ainsi que leurs premières et secondes différences. No 29
Méthode générale pour déduire des équations différentielles du mouvement d’un système de corps les éléments des orbites, en supposant connues, pour un instant donné, les longitudes et les latitudes apparentes de ces corps, ainsi que les premières et secondes différences de ces quantités. No 30
Application de cette méthode au mouvement des comètes, en les supposant animées par la seule attraction du Soleil : elle donne, par une équation du septième degré, la distance de la comète à la Terre. La seule inspection de trois observations consécutives très-voisines suffit pour reconnaître si la comète est plus près ou plus loin que la Terre du Soleil. No 31
Méthode pour avoir aussi exactement que l’on voudra, en n’employant que trois observations, la longitude et la latitude géocentriques d’une comète, ainsi que leurs premières et secondes différences divisées par les puissances correspondantes de l’élément du temps. No 32
Détermination des éléments de l’orbite de la comète, lorsque l’on connaît, pour un instant donné, sa distance à la Terre et la première différentielle de cette distance, divisée par l’élément du temps. Moyen simple d’avoir égard à l’excentricité de l’orbe terrestre. No 33
Dans le cas de l’orbite parabolique, le grand axe devenant infini, cette condition donne une nouvelle équation du sixième degré pour déterminer la distance de la comète à la Terre. No 34
Cette méthode se divise en deux parties : dans la première, on détermine d’une manière approchée la distance périhélie de la comète et l’instant de son passage au périhélie ; dans la seconde, on donne le moyen de corriger ces deux éléments par trois observations éloignées entre elles, et l’on en déduit tous les autres. No 37
Détermination rigoureuse de l’orbite, dans le cas où la comète a été observée dans ses deux nœuds. No 38
Méthode pour déterminer l’ellipticité de l’orbite, dans le cas d’une ellipse très-excentrique. No 39
Chapitre V. Méthodes générales pour déterminer, par des approximations successives, les mouvements des corps célestes
Recherche des changements que l’on doit faire subir aux intégrales des équations différentielles, pour avoir celles des mêmes équations, augmentées de certains termes. No 40
On en déduit un moyen simple d’avoir les intégrales rigoureuses des équations différentielles linéaires, lorsque l’on sait intégrer ces mêmes équations privées de leurs derniers termes. No 41
On en déduit encore un moyen facile pour obtenir des intégrales de plus en plus approchées des équations différentielles. No 42
Méthode d’approximation, fondée sur la variation des constantes arbitraires. No 45
Chapitre VI. — Seconde approximation des mouvements célestes, ou théorie de leurs perturbations
Formules du mouvement en longitude et en latitude, et du rayon vecteur dans l’orbite troublée. Forme très-simple sous laquelle elles se présentent, quand on n’a égard qu’à la première puissance des forces perturbatrices. No 46
Méthode pour obtenir les perturbations en séries ordonnées par rapport aux puissances et aux produits des excentricités et des inclinaisons des orbites. No 47
Développement en série de la fonction des distances mutuelles des corps du système dont leurs perturbations dépendent. Usage du calcul aux différences finies dans ce développement. Réflexions sur cette série. No 48
Formules pour calculer ses différents termes. No 49
Rapprochement de ces divers résultats, et considérations sur les approximations ultérieures. No 52
Chapitre VII. — Des inégalités séculaires des mouvements célestes
Ces inégalités naissent des termes qui, dans l’expression des perturbations, renferment le temps hors des signes périodiques. Équations différentielles des éléments du mouvement elliptique, qui font disparaître ces termes. No 53
Si l’on n’a égard qu’à la première puissance de la force perturbatrice, les moyens mouvements des planètes sont uniformes, et les grands axes de leurs orbites sont constants. No 54
Développement des équations différentielles relatives aux excentricités et à la position des périhélies dans un système quelconque d’orbites peu excentriques et peu inclinées entre elles. No 55
Intégration de ces équations, et détermination, par les observations, des arbitraires de leurs intégrales. No 56
Le système des orbes des planètes et des satellites est stable relativement aux excentricités, c’est-à-dire que ces excentricités restent toujours fort petites, et le système ne fait qu’osciller autour d’un état moyen d’ellipticité dont il s’écarte peu. No 57
Expressions différentielles des variations séculaires de l’excentricité et de la position du périhélie. No 58
Intégration des équations différentielles relatives aux nœuds et aux inclinaisons des orbites. Dans le mouvement d’un système d’orbites très-peu inclinées entre elles, leurs inclinaisons mutuelles restent toujours très-petites. No 59
Expressions différentielles des variations séculaires des nœuds et des inclinaisons des orbites : 1o par rapport à un plan fixe ; 2o par rapport à l’orbite mobile d’un des corps du système. No 60
Relations générales entre les éléments elliptiques d’un système d’orbites, quelles que soient leurs excentricités, et leurs inclinaisons respectives. No 61
Recherche du plan invariable ou sur lequel la somme des masses des corps du système, multipliées respectivement par les projections des aires décrites par leurs rayons vecteurs dans un temps donné, est un maximum. Détermination du mouvement de deux orbites inclinées l’une à l’autre, d’un angle quelconque. No 62
Chapitre VIII. — Seconde méthode d’approximation des mouvements célestes
Cette méthode est fondée sur les variations que les éléments du mouvement supposé elliptique éprouvent en vertu des inégalités périodiques et séculaires. Méthode générale pour déterminer ces variations. Les équations finies du mouvement elliptique et leurs premières différentielles sont les mêmes dans l’ellipse variable que dans l’ellipse invariable. No 63
Expressions des éléments du mouvement elliptique, dans l’orbite troublée, quelles que soient son excentricité et son inclinaison au plan des orbites des masses perturbatrices. No 64
Développement de ces expressions dans le cas des orbites peu excentriques et peu inclinées les unes aux autres. En considérant d’abord les moyens mouvements et les grands axes, on prouve que, si l’on néglige les carrés et les produits des forces perturbatrices, ces deux éléments ne sont assujettis qu’à des inégalités périodiques, dépendantes de la configuration des corps du système. Si les moyens mouvements de deux planètes approchent beaucoup d’être commensurables entre eux, il peut en résulter dans leurs longitudes moyennes deux inégalités très-sensibles, affectées de signes contraires, et réciproques aux produits des masses des corps, par les racines carrées des grands axes de leurs orbites. C’est à de semblables inégalités que sont dus l’accélération du mouvement de Jupiter et le ralentissement de celui de Saturne. Expressions de ces inégalités et de celles que le même rapport des moyens mouvements peut rendre sensibles dans les termes dépendants de la seconde puissance des masses perturbatrices. No 65
Examen du cas où les inégalités les plus sensibles du moyen mouvement ne se rencontrent que parmi les termes de l’ordre du carré des masses perturbatrices. Cette circonstance très-remarquable a lieu dans le système des satellites de Jupiter, et l’on en déduit ces deux théorèmes :
Le moyen mouvement du premier satellite, moins trois fois celui du second, plus deux fois celui du troisième, est exactement et constamment égal à zéro.
La longitude moyenne du premier satellite, moins trois fois celle du second, plus deux fois celle du troisième, est constamment égale à deux angles droits.
Ces théorèmes subsistent malgré l’altération que les moyens mouvements des satellites peuvent recevoir, soit par une cause semblable à celle qui altère le moyen mouvement de la Lune, soit par la résistance d’un milieu très-rare. Ces théorèmes donnent naissance à une inégalité arbitraire, qui ne diffère pour chacun des trois satellites que par son coefficient, et qui, par les observations, est insensible. No 66
Le moyen mouvement du premier satellite, moins trois fois celui du second, plus deux fois celui du troisième, est exactement et constamment égal à zéro.
La longitude moyenne du premier satellite, moins trois fois celle du second, plus deux fois celle du troisième, est constamment égale à deux angles droits.
Ces théorèmes subsistent malgré l’altération que les moyens mouvements des satellites peuvent recevoir, soit par une cause semblable à celle qui altère le moyen mouvement de la Lune, soit par la résistance d’un milieu très-rare. Ces théorèmes donnent naissance à une inégalité arbitraire, qui ne diffère pour chacun des trois satellites que par son coefficient, et qui, par les observations, est insensible. No 66
Équations différentielles qui déterminent les variations des excentricités et des périhélies. No 67
Développement de ces équations. Les valeurs de ces éléments sont formées de deux parties : l’une dépendante de la configuration mutuelle des corps du système, et qui contient les variations périodiques ; l’autre indépendante de cette configuration, et qui renferme les variations séculaires. Cette seconde partie est donnée par les mêmes équations différentielles que l’on a considérées précédemment. No 68
Moyen très-simple d’obtenir les variations qui résultent du rapport presque commensurable des moyens mouvements, dans les excentricités et les périhélies des orbites ; elles sont liées à celles du moyen mouvement qui y correspondent. Elles peuvent produire, dans les expressions séculaires des excentricités et de la longitude des périhélies, des termes sensibles dépendants des carrés et des produits des forces perturbatrices. Détermination de ces termes. No 69
Des variations des nœuds et des inclinaisons des orbites. Équations qui déterminent leurs valeurs périodiques et séculaires. No 70
Moyen facile d’obtenir les inégalités qui résultent, dans ces éléments, du rapport presque commensurable des moyens mouvements : elles sont liées aux inégalités analogues du moyen mouvement. No 71
Recherche de la variation qu’éprouve la longitude de l’époque. C’est de cette variation que dépend l’équation séculaire de la Lune. No 72
Réflexions sur les avantages que la méthode précédente, fondée sur la variation des paramètres des orbites, présente dans plusieurs circonstances ; moyen d’en conclure les variations de la longitude, de la latitude et du rayon vecteur. No 73
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