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Si l’on suppose ${\rm {R=0,}}$ on aura les équations du mouvement elliptique, que nous avons intégrées dans le Chapitre III. Nous sommes parvenus, dans le n^o  18, aux sept intégrales suivantes :

(p)

$\left\{{\begin{aligned}c&={\frac {xdy-ydx}{dt}},\quad c'={\frac {xdz-zdx}{dt}},\quad c''={\frac {ydz-zdy}{dt}},\\\\0&=f+x\left({\frac {\mu }{r}}-{\frac {dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}\right)+{\frac {ydydx}{dt^{2}}}+{\frac {zdzdx}{dt^{2}}},\\\\0&=f'+y\left({\frac {\mu }{r}}-{\frac {dx^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}\right)+{\frac {xdxdy}{dt^{2}}}+{\frac {zdzdy}{dt^{2}}},\\\\0&=f''+z\left({\frac {\mu }{r}}-{\frac {dx^{2}+dy^{2}}{dt^{2}}}\right)+{\frac {xdxdz}{dt^{2}}}+{\frac {ydydz}{dt^{2}}},\\\\0&={\frac {\mu }{a}}-{\frac {2\mu }{r}}+{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}.\end{aligned}}\right.$

Ces intégrales donnant les arbitraires en fonctions des coordonnées et de leurs premières différences, elles sont sous une forme très-commode pour déterminer les variations de ces arbitraires. Les trois premières intégrales donnent en les différentiant, et en ne faisant varier, par le numéro précédent, que les paramètres $c,c,c'',$ et les premières différences des coordonnées.

$dc={\frac {xd^{2}y-yd^{2}x}{dt}},\quad dc'={\frac {xd^{2}z-zd^{2}x}{dt}},\quad c''={\frac {yd^{2}z-zd^{2}y}{dt}}.$

En substituant, au lieu de $d^{2}x,d^{2}y,d^{2}z,$ les parties de leurs valeurs dues aux forces perturbatrices, et qui, en vertu des équations différentielles (P), sont $-dt^{2}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}},-dt^{2}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}},-dt^{2}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}},$ on aura

${\begin{aligned}dc&=dt\left(y{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}}-x{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}}\right),\\\\dc'&=dt\left(z{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}}-x{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}}\right),\\\\dc''&=dt\left(z{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}}-y{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}}\right).\end{aligned}}$

On a vu, dans les n^os 18 et 19, que les paramètres $c,c',c''$ déterminent