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Des deux équations précédentes résultent évidemment celles-ci

${\begin{alignedat}{2}(0,\ 2)m\,\ {\sqrt {a}}\,\ &=(2,\ 0)m''{\sqrt {a''}},&\qquad {\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 2\\\hline \end{array}}m\,\ {\sqrt {a}}\,\ &={\begin{array}{|c|}\hline 2,\ 0\\\hline \end{array}}m''{\sqrt {a''}},\\(1,\ 2)m'{\sqrt {a'}}&=(2,\ 1)m''{\sqrt {a''}},&{\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 2\\\hline \end{array}}m'{\sqrt {a'}}&={\begin{array}{|c|}\hline 2,\ 1\\\hline \end{array}}m''{\sqrt {a''}},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,&\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \end{alignedat}}$

56. Maintenant, pour intégrer les équations (A) du numéro précédent, nous ferons

${\begin{aligned}h\ &={\rm {N}}\sin(gt+{\text{ϐ}}),&\qquad l\ &={\rm {N}}\cos(gt+{\text{ϐ}}),\\h'&={\rm {N'}}\sin(gt+{\text{ϐ}}),&\qquad l'&={\rm {N'}}\cos(gt+{\text{ϐ}}),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,&\ldots &\ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

en substituant ces valeurs dans les équations (A), on aura

${\rm {(B)}}\ \left\{{\begin{aligned}{\rm {N}}\ \ g&=\left[(0,\ 1)+(0,\ 2)+\ldots \right]{\rm {N}}\ \ -{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}{\rm {N'}}-{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 2\\\hline \end{array}}{\rm {N''}}-\ldots ,\\{\rm {N'}}\ g&=\left[(1,\ 0)+(1,\ 2)+\ldots \right]{\rm {N'}}\,-{\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 0\\\hline \end{array}}{\rm {N}}\ \,-{\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 2\\\hline \end{array}}{\rm {N''}}-\ldots ,\\{\rm {N''}}g&=\left[(2,\ 0)+(2,\ 1)+\ldots \right]{\rm {N''}}-{\begin{array}{|c|}\hline 2,\ 0\\\hline \end{array}}{\rm {N}}\ \,-{\begin{array}{|c|}\hline 2,\ 1\\\hline \end{array}}{\rm {N'}}-\ldots ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right.$

Si l’on suppose le nombre des corps $m,m',m'',\ldots$ égal à $i,$ ces équations seront en nombre $i,$ et, en éliminant les constantes ${\rm {N,N',\ldots ,}}$ on aura une équation finale en $g,$ du degré $i,$ que l’on obtiendra facilement de cette manière.

Nommons $\varphi$ la fonction

${\begin{aligned}&\quad \ \ \ {\rm {N}}^{2}m{\sqrt {a}}\left[g-(0,\ 1/)-(0,\ 2/)-\ldots \right]\\&+\ \ {\rm {N'}}^{2}m'{\sqrt {a'}}\left[g-(1,\ 0/)-(1,\ 2/)-\ldots \right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+2{\rm {N}}m{\sqrt {a}}\left\{{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}{\rm {N'}}+{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 2\\\hline \end{array}}{\rm {N''}}+\ldots \right\}\\&+2{\rm {N'}}m'{\sqrt {a'}}\left\{{\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 2\\\hline \end{array}}{\rm {N''}}+{\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 3\\\hline \end{array}}{\rm {N'''}}+\ldots \right\}\\&+2{\rm {N''}}m''{\sqrt {a''}}\left\{{\begin{array}{|c|}\hline 2,\ 3\\\hline \end{array}}{\rm {N''}}+\ldots \right\}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$