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sances et aux produits de $\delta c,\delta c',\ldots ,$ on aura, par les formules du n^o 21,

${\begin{aligned}&y={\rm {Y}}+\delta c{\frac {\partial {\rm {Y}}}{\partial c}}+\delta c'{\frac {\partial {\rm {Y}}}{\partial c'}}+\ldots +{\frac {\delta c^{2}}{1.2}}{\frac {\partial ^{2}{\rm {Y}}}{\partial c^{2}}}+\ldots ,\\\\&y'={\rm {Y}}'+\delta c{\frac {\partial {\rm {Y}}'}{\partial c}}+\delta c'{\frac {\partial {\rm {Y}}'}{\partial c'}}+\ldots +{\frac {\delta c^{2}}{1.2}}{\frac {\partial ^{2}{\rm {Y}}'}{\partial c^{2}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

${\rm {Y,Y',{\frac {\partial Y}{\partial c}},\ldots }}$ étant des fonctions de $t$ sans arbitraires. En substituant ces valeurs dans les équations différentielles proposées, il est clair que, $\delta c,\delta c',\ldots ,$ étant indéterminés, les coefficients des premières puissances de chacun d’eux doivent être nuls dans ces diverses équations. Or, ces équations étant linéaires, on aura évidemment les termes affectés des premières puissances de $\delta c,\delta c',\ldots ,$ en y substituant ${\frac {\partial {\rm {Y}}}{\partial c}}\delta c+{\frac {\partial {\rm {Y}}}{\partial c'}}\delta c'+\ldots$ au lieu de $y,{\frac {\partial {\rm {Y}}'}{\partial c}}\delta c+$${\frac {\partial {\rm {Y}}'}{\partial c'}}\delta c'+\ldots$ au lieu de $y',$ etc. Ces expressions de $y,y',\ldots$ satisfont donc séparément aux équations différentielles proposées, et, comme elles renferment les $in$ arbitraires $\delta c,\delta c',\ldots ,$ elles en sont les intégrales complètes. On voit ainsi que les arbitraires existent sous une forme linéaire dans les expressions de $y,y',\ldots$, et par conséquent aussi dans leurs différentielles ; d’où il est aisé de conclure que les variables $y,y',\ldots$ et leurs différences peuvent être supposées sous une forme linéaire dans les intégrales successives des équations différentielles proposées.

Il suit de là que, ${\rm {F,F',\ldots }}$ étant les coefficients de ${\frac {d^{i}y}{dt^{i}}},{\frac {d^{i}y'}{dt^{i}}},\ldots$ dans la différentielle de ${\rm {V\,;\ H,H',\ldots }}$ étant les coefficients des mêmes différences dans la différentielle de ${\rm {V',}}$ et ainsi du reste, ces quantités sont fonctions de la seule variable $t.$ Partant, si l’on suppose ${\rm {Q,Q',\ldots }}$ fonctions de $t$ seul, les différences

$dt{\rm {(FQ+F'Q'+\ldots ),\qquad dt{\rm {(HQ+H'Q'+\ldots ),\ldots }}}}$

seront exactes.

De là résulte un moyen simple d’avoir les intégrales d’un nombre