sances et aux produits de
on aura, par les formules du no 21,
![{\displaystyle {\begin{aligned}&y={\rm {Y}}+\delta c{\frac {\partial {\rm {Y}}}{\partial c}}+\delta c'{\frac {\partial {\rm {Y}}}{\partial c'}}+\ldots +{\frac {\delta c^{2}}{1.2}}{\frac {\partial ^{2}{\rm {Y}}}{\partial c^{2}}}+\ldots ,\\\\&y'={\rm {Y}}'+\delta c{\frac {\partial {\rm {Y}}'}{\partial c}}+\delta c'{\frac {\partial {\rm {Y}}'}{\partial c'}}+\ldots +{\frac {\delta c^{2}}{1.2}}{\frac {\partial ^{2}{\rm {Y}}'}{\partial c^{2}}}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70cd5f9c02b2926d976c1d2c1c84e9d794db7e6b)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
étant des fonctions de
sans arbitraires. En substituant ces valeurs dans les équations différentielles proposées, il est clair que,
étant indéterminés, les coefficients des premières puissances de chacun d’eux doivent être nuls dans ces diverses équations. Or, ces équations étant linéaires, on aura évidemment les termes affectés des premières puissances de
en y substituant
au lieu de ![{\displaystyle y,{\frac {\partial {\rm {Y}}'}{\partial c}}\delta c+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaa4a94a599bd58f9cee46a4db39c477ff13a406)
au lieu de
etc. Ces expressions de
satisfont donc séparément aux équations différentielles proposées, et, comme elles renferment les
arbitraires
elles en sont les intégrales complètes. On voit ainsi que les arbitraires existent sous une forme linéaire dans les expressions de
, et par conséquent aussi dans leurs différentielles ; d’où il est aisé de conclure que les variables
et leurs différences peuvent être supposées sous une forme linéaire dans les intégrales successives des équations différentielles proposées.
Il suit de là que,
étant les coefficients de
dans la différentielle de
étant les coefficients des mêmes différences dans la différentielle de
et ainsi du reste, ces quantités sont fonctions de la seule variable
Partant, si l’on suppose
fonctions de
seul, les différences
![{\displaystyle dt{\rm {(FQ+F'Q'+\ldots ),\qquad dt{\rm {(HQ+H'Q'+\ldots ),\ldots }}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dffa9f0c17b37a07b9be9b368989ba30daf08101)
seront exactes.
De là résulte un moyen simple d’avoir les intégrales d’un nombre