Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu/388

Enfin, la septième des intégrales (p), différentiée de la même manière, donnera la variation du demi-grand axe $a,$ au moyen de l’équation

$d{\frac {\mu }{a}}=2d{\rm {R}},$

la différentielle $d{\rm {R}}$ se rapportant aux seules coordonnées $x,y,z$ du corps $m.$

Les valeurs de $f,f',f''$ déterminent la longitude de la projection du périhélie de l’orbite sur le plan fixe, et le rapport de l’excentricité au demi-grand axe ; car, ${\rm {I}}$ étant la longitude de cette projection, on a, par le n^o 19,

$\operatorname {tang} {\rm {I}}={\frac {f'}{f}},$

et, $e$ étant le rapport de l’excentricité au demi-grand axe, on a, par le même numéro.

$\mu e={\sqrt {f^{2}+f'^{2}+f''^{2}}}.$

Ce rapport peut encore être déterminé en divisant le demi-paramètre $a\left(1-e^{2}\right)$ par le demi-grand axe $a$ ; le quotient, retranché de l’unité, donnera la valeur de $e^{2}.$

Les intégrales (p) ont donné par l’élimination, dans le n^o 19, l’intégrale finie $0=\mu r-h^{2}+fx+f'y+f''z\,;$ cette équation subsiste encore dans le cas de l’ellipse troublée, et elle détermine à chaque instant la nature de l’ellipse variable. On peut la différentier en regardant $f,f',f''$ comme constants, ce qui donne

$0=\mu dr+fdx+f'dy+f''dz.$

Le demi-grand axe $a$ donne le moyen mouvement de $m,$ ou, plus exactement, ce qui dans l’orbite troublée répond au moyen mouvement dans l’orbite non troublée ; car on a, par le n^o 20, $n=a^{-{\frac {3}{2}}}{\sqrt {\mu }}\,;$ de plus, si l’on désigne par ${\rm {\zeta }}$ le moyen mouvement de $m,$ on a dans l’orbite elliptique invariable $d\zeta =ndt$ ; cette équation a également lieu