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équations la forme suivante

(L)

$\left\{{\begin{aligned}&0={\frac {d^{2}t}{dv^{2}}}+{\frac {2dudt}{udv^{2}}}+u^{2}{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial v}}{\frac {dt^{3}}{dv^{3}}},\\\\&0=\left({\frac {d^{2}u}{dv^{2}}}+u\right)\left(1+{\frac {2}{h^{2}}}\int {\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad +{\frac {1}{h^{2}}}\left({\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial v}}{\frac {du}{u^{2}dv}}-{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial u}}-{\frac {s}{u}}{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial s}}\right),\\\\&0=\left({\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+s\right)\left(1+{\frac {2}{h^{2}}}\int {\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial v}}{\frac {dv}{u^{2}}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad +{\frac {1}{h^{2}u^{2}}}\left[{\frac {ds}{dv}}{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial v}}-us{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial u}}-\left(1+s^{2}\right){\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial s}}\right].\end{aligned}}\right.$

En employant d’autres coordonnées, on formerait de nouveaux systèmes d’équations différentielles : supposons, par exemple, que l’on change les coordonnées $x$ et $y$ des équations (i) du n^o 14 en d’autres relatives à deux axes mobiles situés sur le plan de ces coordonnées, et dont le premier indique la longitudç moyenne du corps $m,$ tandis que le second lui est perpendiculaire. Soient $x_{1}$ et $y_{1}$ les coordonnées de $m$ relativement à ces axes, et désignons par $nt+\varepsilon$ la longitude moyenne de $m$ ou l’angle que l’axe mobile des $x_{1}$ fait avec l’axe des $x\,;$ on aura

$x=x_{1}\cos(nt+\varepsilon )-y_{1}\sin(nt+\varepsilon ),\qquad y=x_{1}\sin(nt+\varepsilon )+y_{1}\cos(nt+\varepsilon ),$

d’où l’on tire, en supposant $dt$ constant,

${\begin{aligned}d^{2}x\cos(nt+\varepsilon )+d^{2}y\sin(nt+\varepsilon )&=d^{2}x_{1}-n^{2}x_{1}dt^{2}-2ndy_{1}dt,\\d^{2}y\cos(nt+\varepsilon )-d^{2}x\sin(nt+\varepsilon )&=d^{2}y_{1}-n^{2}y_{1}dt^{2}+2ndx_{1}dt.\end{aligned}}$

En substituant dans $\mathrm {Q} ,$ au lieu de $x$ et de $y,$ leurs valeurs précédentes, on aura

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial x}}&={\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial x_{1}}}\cos(nt+\varepsilon )-{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial y_{1}}}\sin(nt+\varepsilon ),\\\\{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial y}}&={\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial x_{1}}}\sin(nt+\varepsilon )+{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial y_{1}}}\cos(nt+\varepsilon ).\end{aligned}}$

Cela posé, les équations différentielles {i) donneront les trois suivantes

(M)

$\left\{{\begin{aligned}&0={\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}-n^{2}x_{1}-2n{\frac {dy_{1}}{dt}}-{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial x_{1}}},\\\\&0={\frac {d^{2}y_{1}}{dt^{2}}}-n^{2}y_{1}+2n{\frac {dx_{1}}{dt}}-{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial y_{1}}},\\\\&0={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}-{\frac {\partial {\rm {Q}}}{\partial z}}.\end{aligned}}\right.$