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galité dépendante de cet argument. La détermination de cette inégalité vérifia cette conjecture.

La période de l’argument $i'n't-int$ étant supposée fort longue, les éléments des orbites de $m$ et de $m'$ éprouvent dans cet intervalle des variations sensibles, auxquelles il est essentiel d’avoir égard dans la double intégrale $\iint akn^{2}dt^{2}\sin(i'n't-int+{\rm {A}}).$ Pour cela, nous donnerons à la fonction $k\sin(i'n't-int+{\rm {A}})$ la forme ${\rm {Q}}\sin(i'n't-int+i'\varepsilon '-i\varepsilon )+$${\rm {Q'}}\cos(i'n't-int+i'\varepsilon '-i\varepsilon ),\ {\rm {Q}}$ et ${\rm {Q}}'$ étant fonctions des éléments des orbites ; nous aurons ainsi

${\begin{aligned}&\iint akn^{2}dt^{2}\sin(i'n't-int+{\rm {A}})\\&=-{\frac {n^{2}a\sin(i'n't-int+i'\varepsilon '-i\varepsilon )}{(i'n'-in)^{2}}}\times \\&\ \ \left({\rm {Q}}-{\frac {2d{\rm {Q}}'}{(i'n'-in)dt}}-{\frac {3d^{2}{\rm {Q}}}{(i'n'-in)^{2}dt^{2}}}+{\frac {4d^{3}{\rm {Q'}}}{(i'n'-in)^{3}dt^{3}}}+\ldots \right)\\\\&-{\frac {n^{2}a\cos(i'n't-int+i'\varepsilon '-i\varepsilon )}{(i'n'-in)^{2}}}\times \\&\ \ \left({\rm {Q'}}+{\frac {2d{\rm {Q}}}{(i'n'-in)dt}}-{\frac {3d^{2}{\rm {Q'}}}{(i'n'-in)^{2}dt^{2}}}-{\frac {4d^{3}{\rm {Q}}}{(i'n'-in)^{3}dt^{3}}}+\ldots \right).\end{aligned}}$

Les termes de ces deux séries décroissant très-rapidement, vu la lenteur des variations séculaires des éléments elliptiques, on peut dans chaque série s’en tenir aux deux premiers termes. En y substituant ensuite, au lieu des éléments des orbites, leurs valeurs ordonnées par rapport aux puissances du temps, et ne conservant que sa première puissance, la double intégrale précédente pourra être transformée dans un seul terme de la forme

$({\rm {F+E}}t)\sin(i'n't-int+{\rm {A+H}}t).$

Relativement à Jupiter et à Saturne, cette expression pourra servir pendant plusieurs siècles avant et après l’instant que l’on aura choisi pour époque.

Les grandes inégalités dont nous venons de parler en produisent de sensibles parmi les termes dépendants de la seconde puissance des masses perturbatrices. En effet, si dans la formule

$\zeta ={\frac {3im'}{\mu }}\iint akn^{2}dt^{2}\sin(i'\zeta '-i\zeta +{\rm {A}})$