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Cela posé, si l’on substitue pour ${\rm {R}}$ sa valeur trouvée dans le n^o 48 ; si l’on considère ensuite que l’on a, par le même numéro,

${\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}={\frac {a}{r}}{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial a}}=(1-u_{\text{ı}}){\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial a}}\,;$

enfin, si l’on substitue, au lieu de $u_{\text{ı}},u'_{\text{ı}},v_{\text{ı}}$ et $v'_{\text{ı}},$ leurs valeurs

${\begin{array}{ll}-e\cos(nt+\varepsilon -\varpi ),&-e'\cos(n't+\varepsilon '-\varpi '),\\2e\sin(nt+\varepsilon -\varpi ),&2e'\sin(n't+\varepsilon '-\varpi '),\end{array}}$

données par le n^o 22, en ne conservant que les termes constants parmi ceux qui dépendent de la première puissance des excentricités des orbites, et en négligeant les carrés des excentricités et des inclinaisons, on trouvera

${\begin{aligned}df&={\frac {am'ndt}{2}}e\sin \varpi \left(a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(0)}}{\partial a}}+{\frac {1}{2}}a^{2}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(0)}}{\partial a^{2}}}\right)\\\\&+am'ndt.e'\sin \varpi '\left({\rm {A}}^{(1)}+{\frac {1}{2}}a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(1)}}{\partial a}}+{\frac {1}{2}}a'{\frac {\partial {\rm {A}}^{(1)}}{\partial a'}}+{\frac {1}{4}}aa'{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(1)}}{\partial a\partial a'}}\right)\\\\&-am'ndt.\Sigma \left(i{\rm {A}}^{(i)}+{\frac {1}{2}}a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i)}}{\partial a}}\right)\sin \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon \right],\end{aligned}}$

le signe intégral $\Sigma$ s’étendant dans cette expression, comme dans la valeur de ${\rm {R}}$ du n^o 48, à toutes les valeurs entières positives et négatives de $i,$ en y comprenant même la valeur $i=0$

On aura, par le numéro précédent, la valeur de $df',$ en diminuant dans celle de $df$ les angles $\varepsilon ,\varepsilon ',\varpi$ et $\varpi '$ d’un angle droit ; d’où l’on tire

${\begin{aligned}df&=-{\frac {am'ndt}{2}}e\cos \varpi \left(a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(0)}}{\partial a}}+{\frac {1}{2}}a^{2}{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(0)}}{\partial a^{2}}}\right)\\\\&-am'ndt.e'\cos \varpi '\left({\rm {A}}^{(1)}+{\frac {1}{2}}a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(1)}}{\partial a}}+{\frac {1}{2}}a'{\frac {\partial {\rm {A}}^{(1)}}{\partial a'}}+{\frac {1}{4}}aa'{\frac {\partial ^{2}{\rm {A}}^{(1)}}{\partial a\partial a'}}\right)\\\\&+am'ndt.\Sigma \left(i{\rm {A}}^{(i)}+{\frac {1}{2}}a{\frac {\partial {\rm {A}}^{(i)}}{\partial a}}\right)\cos \left[i(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+nt+\varepsilon \right].\end{aligned}}$

Nommons, pour abréger, ${\rm {X}}$ la partie de l’expression de $df$ renfermée sous le signe $\Sigma ,$ et ${\rm {Y}}$ la partie de l’expression de $df'$ renfermée sous