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Soient $g,g_{1},g_{2},\ldots$ les $i$ racines de l’équation en $g\,;$ soit ${\rm {N,N',N'',\ldots }}$ le système des indéterminées relatif à la racine $g$ soit ${\rm {N_{1},N'_{1},N''_{1},\ldots }}$ le système des indéterminées relatif à la racine $g_{1},$ et ainsi de suite : on aura, par la théorie connue des équations différentielles linéaires,

${\begin{aligned}h\,\ &={\rm {N}}\ \,\sin(gt+{\text{ϐ}})+{\rm {N_{1}}}\sin(g_{1}t+{\text{ϐ}}_{1})+{\rm {N_{2}}}\sin(g_{2}t+{\text{ϐ}}_{2})+\ldots ,\\h'\,&={\rm {N'}}\sin(gt+{\text{ϐ}})+{\rm {N'_{1}}}\sin(g_{1}t+{\text{ϐ}}_{1})+{\rm {N'_{2}}}\sin(g_{2}t+{\text{ϐ}}_{2})+\ldots ,\\h''\,&={\rm {N''}}\sin(gt+{\text{ϐ}})+{\rm {N''_{1}}}\sin(g_{1}t+{\text{ϐ}}_{1})+{\rm {N''_{2}}}\sin(g_{2}t+{\text{ϐ}}_{2})+\ldots ,\end{aligned}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ϐ,ϐ_1,ϐ_2,\ldots étant des constantes arbitraires. En changeant, dans ces valeurs de $h,h',h'',\ldots ,$ les sinus en cosinus, on aura les valeurs de $l,l',l'',\ldots .$ Ces différentes valeurs renferment deux fois autant d’arbitraires qu’il y a de racines $g,g_{1},g_{2},\ldots \,;$ car chaque système d’indéterminées renferme une arbitraire, et, de plus, il y a $i$ arbitraires ϐ,ϐ_1,ϐ_2, … ; ces valeurs sont par conséquent les intégrales complètes des équations (A) du numéro précédent.

Il ne s’agit plus maintenant que de déterminer les constantes ${\rm {N,N_{1},\ldots \,;{\rm {N',N'_{1},\ldots \,;}}}}$ ϐ,ϐ_1, …. Les observations ne donnent point immédiatement ces constantes ; mais elles font connaître, à une époque donnée, les excentricités $e,e',\ldots$ des orbites, et les longitudes $\varpi ,\varpi ',\ldots$ de leurs périhélies, et par conséquent les valeurs de $h,h',\ldots ,l,l',\ldots \,;$ on en tirera ainsi les valeurs des constantes précédentes. Pour cela, nous observerons que, si l’on multiplie la première, la troisième, la cinquième, … des équations différentielles (A) du numéro précédent respectivement par ${\rm {N}}m{\sqrt {a}},$${\rm {N'}}m'{\sqrt {a'}},\ldots ,$ on aura, en vertu des équations (B) et des relations trouvées dans le numéro précédent entre $(0,\ 1)$ et $(1,\ 0),(0,\ 2)$ et $(2,\ 0),\ldots ,$

${\rm {N}}{\frac {dh}{dt}}m{\sqrt {a}}+{\rm {N'}}{\frac {dh'}{dt}}m'{\sqrt {a'}}+{\rm {N''}}{\frac {dh''}{dt}}m''{\sqrt {a''}}+\ldots$

$=g\left({\rm {N}}lm{\sqrt {a}}+{\rm {N'}}l'm'{\sqrt {a'}}+{\rm {N''}}l''m''{\sqrt {a''}}+\ldots \right).$

Si l’on substitue dans cette équation, au lieu de $h,h',\ldots ,l,l',\ldots ,$ leurs